Question

如圖所示在平面直角坐標系xOy中，，第Ⅰ、II象限存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E，第III、Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上距原點O為d的P點以速度v₀垂直于y軸射入第Ⅰ象限的電場，經x軸射入磁場，已知，．不計粒子重力，求：

（1）粒子在磁場中運動的半徑，畫出帶電粒子運動的軌跡。
（2）從粒子射入電場開始，求粒子經過x軸時間的可能值。

Answer 1

（1），軌跡如下圖所示。
（2）故帶電粒子經過x軸正半軸時間的可能值為（n=0、1、2、3…）.
帶電粒子經過x軸負半軸時間的可能值為（n=0、1、2、3…）.

（1）帶電粒子射入電場中作類平拋運動，
由牛頓第二定律
由類平拋運動的特點，豎直方向上作初速為零的勻加速運動，
水平方向上作勻速運動
設合速度與水平方向的夾角為，
由合速度與分速度的關系得

以上六式聯立可得，，.
帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，
洛倫茲力提供向心力，代入可得
由幾何關系可確定出帶電粒子在磁場中做圓周運動的圓心在y軸下方處，根據圓的對稱性，粒子出磁場時的速度和距離與入時對稱，帶電粒子進入第II象限作斜拋運動，運動情況跟在第一像限對稱，
故可畫出帶電粒子運動的軌跡。
（2）由上問知粒子在第Ⅰ象限的電場中運動的時間，

在磁場中運動的周期由，
帶電粒子在磁場中運動的時間為，
帶電粒子在第第II象限的電場中運動的時間，
故帶電粒子經過x軸正半軸時間的可能值為（n=0、1、2、3…）.
帶電粒子經過x軸負半軸時間的可能值為（n=0、1、2、3…）.