Question

磁聚焦被廣泛的應用在電真空器件中，如圖所示，在坐標xoy中存在有界的勻強聚焦磁場，方向垂直坐標平面向外，磁場邊界PQ直線與x軸平行，距x軸的距離為

2 3 a

3

，邊界POQ的曲線方程為y=

x(a-x)

a2 3 -x2

．且方程對稱y軸，在坐標x軸上A處有一粒子源，向著不同方向射出大量質量均為m、電量均為q的帶正電粒子，所有粒子的初速度大小相同均為v，粒子通過有界的勻強磁場后都會聚焦在x軸上的F點．已知A點坐標為（-a，0），F點坐標為（a，0）．不計粒子所受重力和相互作用求：
（1）勻強磁場的磁感應強度；
（2）粒子射入磁場時的速度方向與x軸的夾角為多大時，粒子在磁場中運動時間最長，最長對間為多少？

Answer 1

分析：先根據三角形相似求出橫坐標x與y的比例關系，然后根據洛倫茲力提供向心力列方程求出B；
先求出所用時間t的表達式，根據根據數學知識求最大值．

解答：解：（1）設磁場的磁感應強度為B，粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r，圓心為C，從D處射出磁場，其坐標為（x，y），因Rt△CED相似于Rt△DGF
可得                

y

x

=

a-x

r2-x2

且POQ的曲線方程為y=

x(a-x)

a2 3 -x2

解得：r=

3

3

a
因      r=

mv

qB

解得：B=

3 mv

aq

（2）設粒子射入磁場時的速度方向與x軸夾角為θ時，粒子在磁場中運動的軌跡與PQ相切，則運動的時間最長，最長時間為t，由幾何知識得

2 3 a

3

=r+y-rcosθ         x=rsinθ
解得：sinθ=

3

2

            θ=60°=

π

3

且      t=

αm

qB

解得：t=

2θm

qB

=

2 3 πa

9v

答：（1）勻強磁場的磁感應強度為

3 mv

qa

；
（2）粒子射入磁場時的速度方向與x軸的夾角為

π

3

時，粒子在磁場中運動時間最長，最長對間為

2 3 πa

9v

．

點評：本題用到的數學方法較多，一定要注重數學方法在物理中的應用，特別在帶電粒子在磁場中的偏轉中一定要注意幾何關系的正確應用．