Question

【題目】自然界真是奇妙，微觀世界的運動規律竟然與宏觀運動規律存在相似之處。

(1)在地心參考系中，星體離地心的距離 時，星體的引力勢能為零。質量為m的人造衛星以第二宇宙速度從地面發射，運動到離地心距離為r時，其運動速度為 (G為引力常量，M為地球質量)。它運動到離地心無窮遠處，相對于地球的運動速度為零。請推導此衛星運動到離地心距離為r時的引力勢能表達式。

(2)根據玻爾的氫原子模型，電子的運動看做經典力學描述下的軌道運動，原子中的電子在庫侖力作用下，繞原子核做圓周運動。

①已知電子質量為m，電荷量為e，靜電力常量為k。氫原子處于基態(n=1)時電子的軌道半徑為r1，電勢能為 (取無窮遠處電勢能為零)。氫原子處于第n個能級的能量為基態能量的 (n=1,2,3，…)。求氫原子從基態躍遷到n=2的激發態時吸收的能量。

②一個處于基態且動能為的氫原子與另一個處于基態且靜止的氫原子進行對心碰撞。若要使其中一個氫原子從基態躍遷到激發態，則 至少為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2） ； 至少為

【解析】（1）衛星在距地心r處的動能

衛星距地心r處運動到無窮遠的過程中，由機械能守恒定律可得得

（2）①電子繞原子核做勻速圓周運動，

故處于基態的氫原子的電子的動能，

由題意可知處于基態的氫原子的能量，解得

又因為，得

②設氫原子質量為m，初速度為氫原子相互作用后速度分別為和，相互作用過程中機械能減少量為

由動量守恒定律可得

由能量守恒可得，解得

若有示數解，須，即

即氫原子能從n=1的基態躍遷到n=2的激發天，需要吸收的能量為，所以要使其中一個氫原子從基態躍遷到激發天， 至少為．