Question

如圖所示，在傾角θ=30°的光滑斜面上有質量均為m的A、B、C三個相同物塊，其中A和B用勁度系數為k的輕彈簧相連，靜止在斜面上．在斜面的底端有一個固定擋板．現在將C從斜面上某點由靜止釋放，B和C碰撞時間極短，B和C碰撞后粘連一起不再分開，以后的運動過程中A恰好不離開擋板．整個過程中，彈簧處在彈性限度以內．求：
（1）物塊B上升的最高點與最初位置之間的距離；
（2）物塊C釋放時離B物塊的距離d．

Answer 1

分析：（1）先根據平衡條件和胡克定律求出最初時彈簧的壓縮量；由題意，以后的運動過程中A恰好不離開擋板，彈簧所受的拉力恰好等于A的重力沿斜面向下的分力，再由胡克定律求出此時彈簧伸長的長度，即可由幾何關系求出物塊B上升的最高點與最初位置之間的距離．
（2）按過程分析，并進行列式：C下滑做勻加速運動，根據動能定理求出C與B碰撞之前瞬間的速度．B、C碰撞過程時間極短，動量守恒，由動量守恒定律列式求出碰后兩者共同速度．碰撞后整個系統機械能守恒，從碰撞結束到B至最高點運用機械能守恒定律列式，再聯立即可求解．

解答：解：（1）設B、C碰撞前彈簧的壓縮量為x₁，則由B平衡得：kx₁=mgsin30°
設A對擋板恰好無壓力時彈簧伸長量為x₂，由A受力平衡得：kx₂=mgsin30°
物體B上升至最高點與開始平衡位置之間的距離為：L=x₁+x₂=

mg

k

（2）設B、C碰撞之前瞬間C的速度為υ，由動能定理得：mgdsin30°=

1

2

mv2
B、C碰撞動量守恒，設碰撞后共同速度為υ₁，則：mv=2mv₁           
碰撞后整個系統機械能守恒，從碰撞結束到B至最高點：
E_p1+

1

2

2m

v

2 1

=E_p2+2mg（x₁+x₂）sin30°             
由于x₁=x₂，故有：E_p1=E_p2            
由以上各式解得：d=

4mg

k

答：（1）物塊B上升的最高點與最初位置之間的距離是

mg

k

；
（2）物塊C釋放時離B物塊的距離d是

4mg

k

．

點評：本題采用程序法分析并列式，掌握胡克定律，運用平衡條件求解彈簧的形變量；根據形變量的關系，確定彈簧彈性勢能的關系是解題關鍵．