Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy平面內存在著方向相反的兩個勻強磁場區(qū)域，其中圓心在坐標原點、半徑為R的圓形區(qū)域Ⅰ內磁場方向垂直于xOy平面向里，第一象限和第四象限的圓形區(qū)域外（區(qū)域Ⅱ）的磁場方向垂直于xOy平面向外，MN為與x軸垂直且與y軸相距2.5R的一條直線，現(xiàn)有一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子，經過加速電壓為U的加速電場加速后，從坐標為（-R，0）的A點沿x軸正方向射入區(qū)域Ⅰ，并從橫坐標為0.5R處的P點進入區(qū)域Ⅱ．已知粒子第一次經過直線MN和第二次經過直線MN時的速度方向恰好相反，不計粒子重力，求：
（1）粒子進入圓形區(qū)域Ⅰ時的運動速度v的大小；
（2）區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應強度B₁、B₂的大小；
（3）粒子從A點開始到第二次經過直線MN的過程中運動的總時間t．

Answer 1

分析：（1）直線加速過程，根據(jù)動能定理列式求解即可；
（2）粒子從A點垂直射入磁場，從P點射出，故圓心是過A點垂直AO的線與AP的中垂線的交點，求解出半徑后，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應強度；進入區(qū)域Ⅱ后依然做勻速圓周運動，圓心是經過P點和圓心1的連線與直線MN的交點，求解出半徑后，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應強度；
（3）根據(jù)公式t=

θ

2π

T列式求解圓周運動的時間．

解答：解：（1）直線加速過程，根據(jù)動能定理，有：
qU=

1

2

mv²
解得：
v=

2qU m

 
（2）粒子的軌跡如圖：

由于P點的橫坐標為0.5R，故：
sinθ=

0.5R

R

=

1

2

，θ=30°
由圖可知：
R₁=

R

tan30°

=

3

R
R₂=

2.5R-0.5R

cos30°

=

4

3

3

R
由qvB₁=m

v2

R1

得：
B₁=

mv

qR1

=

6qmU

3qR

同理可得：
B₂=

mv

qR2

=

6qmU

4qR

（3）由T=

2πr

v

得：
T=

2πm

qB

t₁=

1

6

T=

πm

3qB1

t₂=

2

3

T=

4πm

3qB2

t=t₁+t₂=

19πR

18qU

6mqU

答：（1）粒子進入圓形區(qū)域Ⅰ時的運動速度v的大小為

2qU m

；
（2）區(qū)域Ⅰ中磁感應強度B₁的大小為

6qmU

3qR

，區(qū)域Ⅱ中磁感應強度B₂的大小為

6qmU

4qR

；
（3）粒子從A點開始到第二次經過直線MN的過程中運動的總時間t為

19πR

18qU

6mqU

．

點評：本題關鍵明確粒子的運動規(guī)律，找出圓心，確定半徑，畫出粒子的運動軌跡，然后結合牛頓第二定律列式求解．