Question

在用高級瀝青鋪設的高速公路上，汽車的設計時速是108km/h．汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．
（1）如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設彎道的路面是水平的，拐彎時不產生橫向滑動．其彎道的最小半徑是多少？
（2）如果高速路上設計了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠不離開地面安全通過圓弧拱橋，這個圓弧拱橋的半徑至少是多少？（取g=10m/s）

Answer 1

分析：（1）汽車在水平路面上轉彎時，靠靜摩擦力提供向心力，拐彎時不產生橫向滑動，汽車所需要的向心力不超過最大靜摩擦力，根據牛頓第二定律求出最小半徑．
（2）要使汽車能夠不離開地面安全通過圓弧拱橋，汽車靠重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，支持力應大于等于零，再根據牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運動，其向心力是車與路面間的靜摩擦力，
有

mv2

r

≤F_m=0.6mg
由速度v=108km/h=30m/s，
得到半徑r≥

v2

0.6g

=

302

0.6×10

m=150m；
（2）汽車過拱橋，看作在豎直平面內做勻速圓周運動，到達最高點時
有

mv2

R

=mg-N
為了保證安全，車隊路面的壓力N必須滿足：N≥0．
有：

mv2

R

≤mg，則R≥90m，即這個圓弧拱橋的半徑至少是90m．
答：
（1）如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設彎道的路面是水平的，拐彎時不產生橫向滑動．其彎道的最小半徑是150m．
（2）如果高速路上設計了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠不離開地面安全通過圓弧拱橋，這個圓弧拱橋的半徑至少是90m．

點評：解決本題的關鍵知道汽車在水平路面上拐彎靠靜摩擦力提供圓周運動的向心力，通過圓弧拱橋時，靠重力和支持力的合力提供向心力．