Question

【題目】如圖所示，圓筒的內(nèi)壁光滑，底端固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO'，圓筒可隨軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它與水平面的夾角始終為45°．在圓筒內(nèi)有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧連接的相同小球A、B（小球的直徑略小于圓筒內(nèi)徑），A、B質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k．當(dāng)圓筒靜止時(shí)A、B之間的距離為L（L遠(yuǎn)大于小球直徑）．現(xiàn)讓圓筒開始轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度從零開始緩慢增大，當(dāng)角速度增大到ω0時(shí)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)小球B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零．重力加速度大小為g．

（1）求圓筒的角速度從零增大至ω0的過程中，彈簧彈性勢能的變化量；
（2）用m、g、L、k表示小球A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能Ek ．

Answer 1

【答案】
（1）解：系統(tǒng)靜止時(shí)，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，以A位研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律有：kx1=mgsin45°

B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零時(shí)，設(shè)彈簧的壓縮量為x2，以B為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律有：kx2=mgsin45°

可得 x1=x2，故彈簧彈性勢能的改變量為：△Ep=0

答：圓筒的角速度從零增大至ω0的過程中，彈簧彈性勢能的變化量為0

（2）解：設(shè)A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則：R=（L+x1+x2）cos45°

A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律

水平方向有：

豎直方向有：Ncos45°=kx2sin45°+mg

聯(lián)立解得：

答：小球A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能Ek為 +

【解析】（1）系統(tǒng)靜止時(shí)，以A位研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律結(jié)合求出設(shè)彈簧的壓縮量．當(dāng)角速度增大到ω0時(shí)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零時(shí)，以B研究對(duì)象，求出彈簧的壓縮量，從而分析彈簧彈性勢能的改變量．（2）A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由合力充當(dāng)向心力，分析其受力情況，根據(jù)牛頓第二定律求出A轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度，再得到動(dòng)能．
【考點(diǎn)精析】掌握彈性勢能和功能關(guān)系是解答本題的根本，需要知道彈性勢能是物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量；當(dāng)只有重力（或彈簧彈力）做功時(shí)，物體的機(jī)械能守恒；重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動(dòng)能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對(duì)物體所做的功等于物體機(jī)械能的變化:W F =E 2 -E 1．