Question

【題目】如圖所示，在傾角為30°足夠長的光滑斜面上有一長為l＝100 cm、開口向上的薄壁玻璃管，用長為l1＝50 cm的水銀柱封閉一段空氣柱。當玻璃管保持靜止時，空氣柱長為l2＝12.5 cm。已知玻璃管的橫截面積S＝1 cm2，大氣壓強p0＝75 cmHg，水銀的密度ρ＝13.6×103 kg/m3，玻璃管的質量與水銀柱的質量相等，g取10 m/s2。

①若將玻璃管開口向下放置于斜面，且仍使其保持靜止狀態，求管內空氣柱長度；

②在①問情形下，用沿斜面向上的恒力F拉玻璃管使其向上做勻加速直線運動，為了使水銀柱不從管口溢出，求F的大小應滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1) 25 cm (2) 6.8 N<F≤13.6 N

【解析】①以管內氣體為研究對象，管開口向上放置時氣體壓強：p1＝p0＋l1sin30°＝100cmHg

管開口向下放置時氣體壓強：p2＝p0－l1sin30°＝50cmHg

設空氣柱長為l3，此過程氣體發生等溫變化，由玻意耳定律得p1V1＝p2V2

即p1l2S＝p2l3S，

代入數據解得l3＝25cm

②設管內水銀柱的質量為m，則m＝ρl1S＝0.68kg

玻璃管整體能向上加速，則F>2mgsin30°＝6.8N

當水銀柱下端到玻璃管口時，整體加速度最大，F也最大，此時，管內空氣柱的長度為l4＝50cm。

設管內氣壓為p3，由玻意耳定律得：p2V2＝p3V3

代入數據解得p3＝25 cmHg

取水銀柱為研究對象，由牛頓第二定律得：p0S－p3S－mgsin30°＝ma

取玻璃管和水銀柱整體為研究對象，由牛頓第二定律得：F－2mgsin30°＝2ma

聯立以上式子解得：F＝2(p0－p3)S＝13.6 N

綜合以上得：6.8 N<F≤13.6 N。