Question

如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌.兩導(dǎo)軌間距為L=0.2m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=5.0T.導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R₁=0.40Ω，阻值為R₂=0.10Ω的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸.兩導(dǎo)軌右端通過金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極相連.電容器C緊靠準(zhǔn)直裝置b，b緊挨著帶小孔a（只能容一個(gè)粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒.圓筒壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑r=0.40m.
（1）用一個(gè)方向平行于MN水平向左且功率恒定為P=80W的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開始向左運(yùn)動(dòng).已知桿受到的摩擦阻力大小恒為F_f=6N，求：當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)桿的速度大小及電阻R₁消耗的電功率？
（2）當(dāng)金屬桿處于（1）問中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器C內(nèi)緊靠極板的D處的一個(gè)帶正電的粒子經(jīng)C加速、b準(zhǔn)直后從a孔垂直磁場(chǎng)B₂并正對(duì)著圓心O進(jìn)入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒.已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的荷質(zhì)比q/m=5×10⁷(C/kg)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂多大（結(jié)果允許含有三角函數(shù)式）？

Answer 1

（1）（2）見解析

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v，回路中的感應(yīng)電流為I，桿受到的安培力大小為F_A，電阻R₁消耗的電功率為P₁，則
（1）           （2）       （3）
聯(lián)立（2）(3)得：         （4）
將已知數(shù)據(jù)代入(4)式解得：                ……（4分）
以及：                            ……（1分）
（2）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為V、在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R₁并聯(lián)，
據(jù)歐姆定律得，                        
據(jù)動(dòng)能定理有，                       （5）
帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，    （6）
聯(lián)立（5）（6）得：                  （7）……（4分）
由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無(wú)電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱性，由5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則由幾何關(guān)系可得：
     （8）……（1分）
有兩種情形符合題意（如圖所示）：
（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為
聯(lián)立（7）（8）并代入值得： （9）
將數(shù)據(jù)代入(9)式得： （10）……（4分）

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為  
聯(lián)立（7）（8）并代入值得： （11）
將數(shù)據(jù)代入(11)式得：        （12）……（4分）