Question

（2009?閔行區一模）據報道，一兒童玩耍時不慎從36米高的陽臺上無初速掉下，在他剛掉下時恰被樓下社區管理人員發現，該人員迅速由靜止沖向兒童下落處的正下方樓底，準備接住兒童．已知管理人員到樓底的距離為18米，為確保能穩妥安全接住兒童，管理人員將盡力節約時間，但又必須保證接兒童時沒有水平方向的沖擊（即水平速度為零）．設兒童下落過程中所受空氣阻力約為兒童本身重力的0.2倍，將兒童和管理人員都看作質點，g取10m/s²．
（1）管理人員至少用多大的平均速度跑到樓底？
（2）若管理人員在奔跑過程中做勻加速或勻減速運動的加速度大小相等，且最大速度不超過9m/s，求管理人員奔跑時加速度的大小需滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）兒童掉下做自由落體運動，可以通過自由落體的位移公式求出時間，根據時間再求管理員的最小平均速度．
（2）管理員先加速到速度最大，再勻速，再減速到0，抓住三段時間和等于自由落體的時間，三段位移和等于管理員到樓底的距離，求出最小加速度．

解答：解：（1）兒童下落過程作勻加速運動，下落時間為t，加速度為a．
由牛頓第二定律得：mg-0.2mg=ma解得：a=8m/s²
由運動學公式S=

1

2

at2得t=

2S a

=

2×36 8

=3(s)
管理人員至少用的平均速度為  

.

v

=

S1

t

=

18

3

=6m/s 
（2）設管理人員先勻加速后勻減速奔跑到樓底，奔跑過程中的最大速度為v_m，
由運動學公式

.

v

=

0+vm

2

解得：vm=2

.

v

=12m/s
說明管理人員先加速到v_m再勻速，最后勻減速奔跑到樓底．設勻速時間為t₂，
所以有：S1=

1

2

(t2+t)vm         t2=

2S1

vm

-t=

2×18

9

-3=1(s)
由管理人員奔跑時的加速度為：a=

vm

t-2t2

=

9

3-2

=9m/s2
故管理員加速度要滿足a＞9m/s²
答：（1）管理人員至少以6m/s平均速度跑到樓底
（2）管理人員奔跑時加速度的大小需滿足a＞9m/s²．

點評：解決本題的關鍵抓住小孩自由下落的時間和管理員運動的時間相等，靈活運用運動學公式求解．