Question

圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外。O是MN上的一點，從O點可以向磁場區域發射電量為+q、質量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向。已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L。不計重力及粒子間的相互作用。
(1)求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑。
(2)求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔。

Answer 1

（1）R＝　　　Δt＝　　　　　　　

(1)設粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律，有：

　　　　　qvB＝m
得：R＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
(2)如圖所示，以OP為弦可畫兩個半徑相同的圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌道。圓心和直徑分別為O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角。由幾何關系可知：
∠PO₁Q₁＝∠PO₂Q₂＝θ   　　　　　　　　　　　　②
從O點射入到相遇，粒子1的路程為半圓周加弧長Q₁P
Q₁P＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
粒子2的路程為半個圓周減弧長PQ₂
　　　PQ₂＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④
粒子1運動的時間：t₁＝　　　　　　　　　　　⑤
其中T為圓周運動的周期．粒子2運動的時間為：
t₂＝　　　　　　　　　　　　⑥
兩粒子射入的時間間隔：
　　　　　　　　Δt＝t₁－t₂＝2　　　　　　　　　　　⑦
因　　　　　　　Rcos＝　　　　　　　　　　　　
得　　　　　　　　θ＝2arccos                     ⑧
由①、⑦、⑧三式得：
　　　　　　　　　Δt＝　　　　　　　⑨
評分標準：本題15分。第(1)問3分。第(2)問12分。⑤、⑥式各4分，⑧、⑨式各