Question

開普勒1609年一1619年發表了著名的開普勒行星運行三定律，其中第三定律的內容是：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等．萬有引力定律是科學史上最偉大的定律之一，它于1687年發表在牛頓的《自然哲學的數學原理中》．
（1）請從開普勒行星運動定律等推導萬有引力定律（設行星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動）；
（2）萬有引力定律的正確性可以通過“月-地檢驗”來證明：
如果重力與星體間的引力是同種性質的力，都與距離的二次方成反比關系，那么，由于月心到地心的距離是地球半徑的60倍；月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度就應該是重力加速度的1/3600．
試根據上述思路并通過計算證明：重力和星體間的引力是同一性質的力（已知地球半徑為6.4×10⁶m，月球繞地球運動的周期為28天，地球表面的重力加速度為9.8m/s²）．

Answer 1

分析：行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律．由圓周運動可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度進行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質的力．

解答：解：（1）設行星的質量為m，太陽質量為M，行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉周期為T，太陽對行星的引力為F．
太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m(

2π

T

)2R=

4π2mR

T2

根據開普勒第三定律

R3

T2

=K得T2=

R3

K

 
故F=

4π2mK

R2

根據牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質量成正比．所以太陽對行星的引力
F∝

Mm

R2

寫成等式有 F=G

Mm

R2

（G為常量）．
（2）月球繞地球作圓周運動的向心加速度為an=

4π2

T2

r
∴an=2.59×10-3m/s2
月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度的比為

an

g

=

2.59×10-3

9.8

≈

1

3600

所以，兩種力是同一種性質的力．

點評：萬有引力定律通過理論進行科學、合理的推導，再由實際數據進行實踐證明，從而進一步確定推導的正確性．