Question

一端彎曲的光滑絕緣軌道ABD固定在豎直平面上，如圖所示，AB段水平、BD段是半徑為R的半圓弧，有電荷量為Q的正點電荷固定在圓心O處．一質量為m、電荷量為q的帶正電小環，在水平恒力F₀作用下從C點由靜止開始運動，到B點時撤去外力，小環繼續運動，發現剛好能到達絕緣軌道上與圓心等高的M點，已知CB間距為

4

3

R．求：
（1）小環從C運動到M過程中，點電荷Q的電場對它做的功；
（2）若水平恒力大小改為2F₀，則小環在能達到的最高點時的速度大小；
（3）水平恒力為多大時，小環沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點．

Answer 1

分析：（1）小環從C運動到M過程中，有電場力、外力和重力做功，根據動能定理可以求得電場做的功；
（2）要是小環能夠到達D點，則到達D點時的速度必須大于或等于零，在此過程中外力、電場力和重力做功，根據動能定理可以求得小環在能達到的最高點時的速度大小；解題時要注意D、B電勢相等，小環從B到D過程，電場力不做功．
（3）根據動能定理求出小環能進入圓環和能到達D點時的水平恒力，即可得到小環沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點水平恒力的范圍．

解答：解：（1）小球從C運動到M，設電場力做功為W_電．對小環從C運動到M過程中，由動能定理得：
F₀?

4

3

R-mgR+W_電=0
解得：W_電=mgR-F₀?

4

3

R=mgR-

4

3

F0R
（2）若水平恒力大小改為2F₀，設小環能達到的最大高度為h，根據動能定理得：
2F₀?

4

3

R-mgh+W_電=0
得：mgh=F₀?

4

3

R+mgR，
因為：W_電＜0，
所以：

4

3

F0R＞mgh
則得：h＞2R，即小環能到達D點，設此時的速度大小為v，根據動能定理得：
 2F₀?

4

3

R-2mgR+W_電=

1

2

mv2
解得，v=

8F0R 3m -2gR

（3）設小環恰能進入圓環和恰能到達D點時的水平恒力分別為F₁和F₂．根據動能定理得：
恒力為F₁時，有：F₁?

4

3

R+W_電=0，
解得：F₁=F₀-

3

4

mg；
恒力為F₂時，有：F₂?

4

3

R-2mgR+W_電=0，
解得：F₂=F₀+

3

4

mg；
所以水平恒力為F₀-

3

4

mg＜F＜F₀+

3

4

mg時，小環沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點．
答：（1）小環從C運動到M過程中，點電荷Q的電場對它做的功為mgR-

4

3

F0R；
（2）若水平恒力大小改為2F₀，則小環在能達到的最高點時的速度大小為

8F0R 3m -2gR

；
（3）水平恒力為F₀-

3

4

mg＜F＜F₀+

3

4

mg時，小環沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點．

點評：本題要注意對小環的運動的過程進行分析，根據動能定理求解小環的速度的大小．在應用動能定理的時候一定要分析清楚運動過程中各力的做功的情況，在特別要抓住電場力做功的特點，關鍵要分析臨界情況，求解恒力的范圍．