Question

如圖5-7-4所示，在水平固定的光滑平板上，有一質量為m的質點P與穿過中央小孔O的輕繩一端相連著，平板與小孔都是光滑的，用手拉著繩子下端，使質點做半徑為A、角速度為ω₀的勻速圓周運動.若繩子突然放松至某一長度B而立即被拉緊，質點就能在半徑為B的圓周上做勻速圓周運動.求質點由半徑A到半徑B所需的時間及質點在半徑為B的圓周上運動的角速度.

圖5-7-4

Answer 1

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本題考查利用圓周運動、離心運動以及運動的合成和分解等知識綜合分析、處理問題的能力.要注意分析質點的運動過程，要明確繩松開后，向心力突然消失，質點沿切線方向飛出，沿光滑平板做勻速直線運動，這是該題的易錯點.
質點在半徑為A的圓周上以角速度ω₀做勻速圓周運動，其線速度為：v_a=ω₀a

圖5-7-5
突然松繩后，向心力消失，質點沿切線方向飛出，以v_a的速度做勻速直線運動，直到質點m距O點的距離為B時，繩子將被拉直.如圖5-7-5所示，作出質點這一過程的俯視圖，則質點在勻速直線運動中的位移：

因此質點m由半徑A到B所需的時間為：.
當線剛被拉直時，質點的速度為：v_A=ω₀A
把這一速度分解為垂直于繩的速度v_b和沿繩的速度v_b′，在繩繃緊的過程中v_b′減為零，質點就以v_b沿著半徑為B的圓周做勻速圓周運動.設其角速度為ω，根據相似三角形得：，即，則質點沿半徑為B的圓周做勻速圓周運動的角速度為：.