Question

如圖所示，固定在地面上的光滑軌道AB、CD，均是半徑為R的

1

4

圓弧．一質(zhì)量為m、上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面EF上，小車上表面與軌道AB、CD的末端B、C相切．一質(zhì)量為m的物體（大小不計(jì)）從軌道AB的A點(diǎn)由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運(yùn)動．當(dāng)小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動到小車右端相對于小車靜止，同時(shí)小車與CF相碰后立即停止運(yùn)動但不粘連，物體則繼續(xù)滑上軌道CD．求：
（1）物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率；
（2）水平面EF的長度；
（3）當(dāng)物體再從軌道CD滑下并滑上小車后，如果小車與壁BE相碰后速度也立即變?yōu)榱悖�最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體滑動B點(diǎn)是的速度，因?yàn)楫?dāng)小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動到小車右端相對于小車靜止結(jié)合動量守恒定律求出物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率．
（2）根據(jù)能量守恒定律fR=

1

2

mvo2-

1

2

2mv12求出水平面EF的長度．
（3）物體從CD滑下后與小車達(dá)到相對靜止，有共同速度，結(jié)合動能定理對小車和物體分析，分別求出物體相對小車的位移和小車滑行的位移．從而得出Q點(diǎn)距小車右端的距離．

解答：解：（1）設(shè)物體從A滑至B時(shí)速率為Vo，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mgR=

1

2

mvo2
vo=

2gR

物體與小車相互作用過程中，系統(tǒng)動量守恒，設(shè)共同速度為V1，有：mv_o=2mv₁
解得物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率：v1=

2gR

2

（2）設(shè)二者之間的摩擦力為f，根據(jù)動能定理有，
對物體有：-fSEF=

1

2

mv12-

1

2

mvo2
對小車有：f(SEF-R)=

1

2

mv12
（或?qū)ο到y(tǒng)根據(jù)能量守恒定律有：fR=

1

2

mvo2-

1

2

2mv12）
得f=

1

2

mg
SEF=

3

2

R
（3）設(shè)物體從CD滑下后與小車達(dá)到相對靜止，共同速度為V₂，相對小車滑行的距離為S₁，小車停后物體做勻減速運(yùn)動，相對小車滑行距離為S₂，根據(jù)動量守恒和能量守恒有：
mv₁=2mv₂
fS1=

1

2

mv12-

1

2

2mv22
對物體根據(jù)動能定理有：fS2=

1

2

mv22
解得S1=

1

4

RS2=

1

8

R
則Q點(diǎn)距小車右端距離：S=S1+S2=

3

8

R
答：（1）物體滑上軌道CD前的瞬間時(shí)速率v1=

2gR

2

．
（2）水平面EF的長度為

3

2

R．
（3）最后物體m停在小車上的Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)距小車右端

3

8

R．

點(diǎn)評：本題綜合考查了動能定理、機(jī)械能守恒定律以及能量守恒定律，關(guān)鍵是理清運(yùn)動的規(guī)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．