Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BECD是圓心為O的光滑圓軌道，半徑為R，與AB在B點相切．一質量為m質點，從直軌道上P點由靜止釋放，P、O、C三點在同一水平直線上，E為最低點，質點與AB直軌道動摩擦因數為μ，重力加速度為g，求：
（1）質點第一次通過E點向左運動時軌道對其支持力大小；
（2）質點在AB直軌道上運動的最大路程（質點沒有脫離原軌道）；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復運動，則釋放點改為P'點，則P'點離B的點距離最大不超過多少？

Answer 1

分析：（1）質點從P運動到E過程，根據動能定理求出質點通過E點時的速度大小．質點經過E點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解軌道的支持力大小；
（2）由于質點在粗糙斜面滑動時機械能不斷減少，最終質點在以B點為最高點的圓弧上往復運動，通過B點的速度為零，對全過程，根據動能定理求出質點在AB直軌道上運動的最大路程；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復運動，質點運動的最高點為C點且速度v_C=0，根據動能定理求解P'點離B的點的距離．

解答：解：（1）根據動能定理得：
從P→E：mgR-μmgcosθ?Rcotθ=

1

2

m

v

2 E

在E點：FN-mg=m

v 2 E

R

聯立解得，F_N=mg（3-2μcosθcotθ）
（2）最終通過B點時速度為O，對整個過程，運用動能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθ?S_總=0
解得，S_總=

R

μ

（3）為了不脫離軌道在軌道上往復運動，質點運動的最高點為C點且速度v_C=0，
則 mg（Lsinθ-Rcosθ）-μmgcosθ?L=0
有：L=

Rcosθ

sinθ-μcosθ

=

R

tanθ-μ

答：（1）質點第一次通過E點向左運動時軌道對其支持力大小是mg（3-2μcosθcotθ）；
（2）質點在AB直軌道上運動的最大路程是

R

μ

；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復運動，釋放點改為P'點，則P'點離B的點距離最大不超過

R

tanθ-μ

．

點評：本題綜合應用了動能定理、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，關鍵要抓住滑動摩擦力做功與總路程有關．