Question

（10分）如圖所示，一對光滑的平行金屬導軌固定在同一水平面內，導軌間距L=0.5m，左端接有阻值R=0.3Ω的電阻，一質量m=0.1kg，電阻r=0.1Ω的金屬棒MN放置在導軌上，整個裝置置于豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由靜止開始做勻加速直線運動，當棒運動的位移x=9m時速度達到6m/s，此時撤去外力，棒繼續運動一段距離后停下來，已知撤去外力前后回路中產生的焦耳熱之比Q₁：Q₂=2:1，導軌足夠長且電阻不計，棒在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸，求
 
(1) 棒在勻加速運動過程中，通過電阻R的電荷量q
(2) 金屬棒MN做勻加速直線運動所需外力隨時間變化的表達式
(3) 外力做的功W_F

Answer 1

（1）4.5C（2）F＝0.2＋0.2t （3）5.4J

試題分析：（1）設棒勻加速運動的時間為Δt，回路的磁通量變化量為ΔΦ，回路中的平均感應電動勢為，由法拉第電磁感應定律得＝ 
其中ΔΦ＝Blx
設回路中的平均電流為，由閉合電路的歐姆定律得＝
則通過電阻R的電荷量為q＝Δ
聯立①②③④式，代入數據得q＝4.5 C
（2）)設撤去外力時棒的速度為v，對棒的勻加速運動過程，由運動學公式v²＝2ax
得a＝2 m/s²
E＝Blv
I=E/(R+r)
由安培力公式和牛頓第二定律得F－BIl＝ma
得F＝0.2＋0.2t
（3）撤去外力后棒在安培力作用下做減速運動，安培力做負功先將棒的動能轉化為電能，再通過電流做功將電能轉化為內能，所以焦耳熱等于棒的動能減少。有
Q₂=ΔE_K=mv²/2=1.8J
根據題意在撤去外力前的焦耳熱為Q₁= Q₂=3.6J
撤去外力前拉力做正功、安培力做負功（其大小等于焦耳熱Q₁）、重力不做功共同使棒的動能增大，根據動能定理有ΔE_K=W_F-Q₁
則ΔE_K=W_F=Q₁+ΔE_K=5.4J