Question

（2011?黃石模擬）假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4200km 的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，地球同步衛星距地面高度為36000km，宇宙飛船和地球同步衛星繞地球同向運動，每當二者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛星發射信號，然后再由同步衛星將信號發送到地面接收站，某時刻二者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內，接收站共接收到信號的次數為（　　）

A．4次

B．6次

C．7次

D．8次

Answer 1

分析：地球同步衛星與宇宙飛船均繞地球做圓周運動，則它們的半徑的三次方之比與公轉周期的二次方之比相等．當它們從相距最近到相距最遠，轉動的角度相差（2nπ+π）（n=0、1、2、…）．

解答：解：據開普勒第三定律

R 3 1

R 3 2

=

T 2 1

T 2 2

                 （1）
   R₁=4200km+6400km      R₂=36000km+6400km     （2）
  可知載人宇宙飛船的運行周期T₁與地球同步衛星的運行周期T₂之比為

1

8

，又已知地球同步衛星的運行周期為一天即24h，因而載人宇宙飛船的運行周期T₁=

24

8

h=3h
由勻速圓周運動的角速度ω=

2π

T

，所以宇宙飛船的角速度為

2π

3

h，同步衛星的角速度為

π

12

h
因為兩者運行的方向相同，因而可以視作追擊問題．又因為是由兩者相距最遠的時刻開始，而兩者處于同一直線且非位于地球同一側時，二者相距最遠，此時追擊距離為π即一個半圓，追擊時間為

π

( 2π 3 - π 12 )

h=

12

7

h．
此后，追擊距離變為2π即一個圓周，同理，追擊時間為

2π

( 2π 3 - π 12 )

h=

24

7

h．
可以得到24h內共用時

156

7

h完成追擊7次，即七次距離最近，因而發射了七次信號．

點評：從相距最近再次相距最近，它們轉動的角度相差360度；當從相距最近到再次相距最遠時，它們轉動的角度相差180度．