Question

（2007?廈門模擬）天文工作者觀測到某行星的半徑為R₁，自轉周期為T₁，它有一顆衛星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉周期為T₂．若萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的平均密度；
（2）要在此行星的赤道上發射一顆質量為m的近地人造衛星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設行星上無氣體阻力，則對衛星至少應做多少功？

Answer 1

分析：根據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質量M，進一步求密度；在赤道上發射近地衛星，同樣根據萬有引力提供向心力求出衛星的發射速度，再根據動能定理求出發射衛星過程中所做的功．

解答：解：（1）衛星與行星之間的萬有引力提供衛星繞行星作圓周運動的向心力：

GM行星m

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2
解得M行星=

4π2R23

GT22

又∵V行星=

4

3

πR13
∴ρ=

M行星

V行星

=

4π2R23 GT22

4 3 πR13

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）質量為m的人造衛星在靠近行星表面繞行時，可認為其軌道半徑為R₁，設繞行速度為v，由萬有引力提供向心力有：

GM行星m

R 2 1

=

mv2

R1

所以v=

GM行星 R1

把（1）中解得質量代入得：v=

4π2R23 T22R1

該人造衛星在此行星表面隨行星一起自轉：v0=

2πR1

T 1

發射衛星時至少應對它做的功為W，由動能定理得：
發射過程對衛星做的功等于衛星動能的增量：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

答：（l）該行星的密度為

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

．
（2）要在此行星的赤道上發射一顆質量為m的近地人造衛星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設行星上無氣體阻力，則對衛星至少應做功為：

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

．

點評：解決問題的關鍵是萬有引力提供圓周運動的向心力，另要知道相對地面的靜止的物體是有和自轉速度相同的初速度的這一點是解決本題第二問的關鍵．