Question

在半徑為R=12000km的某星球表面，宇航員做了如下實驗，實驗裝置如圖．豎直面內的光滑軌道有軌道AB和圓軌道BC組成，將質量為m=0.1kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止滑下，用力傳感器測出小球經過C點是對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙，求：
（1）圓軌道的半徑；
（2）該星球表面的重力加速度大小；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）小球過C點時，由牛頓第二定律得：
F+mg=m

v 2C

r2

，
由動能定理有：
mg（H-2r）=

1

2

mv_C²-0，
聯立解得：F=

2mg

r

H-5mg，
由圖可知：H₁=1m時，F₁=0，
即：0=

2mg

r

×0.5-5mg，
解得軌道半徑為：r=0.4m；
（2）由圖象得：H₂=2m時，F₂=6N，
即：6=

2×0.1×g

0.4

×2-5×0.1×g，
解得：g=12m/s²；
（3）由牛頓第二定律得：
m

v2

R

=mg，
第一宇宙速度為：v=

gR

=

5×1.2×107

12×1.2×107

=1.2×10⁴m/s；
答：（1）圓軌道的半徑為0.4m；
（2）該星球表面的重力加速度大小為12m/s²；
（3）該星球的第一宇宙速度為1.2×10⁴m/s．