Question

【題目】如圖所示，半徑分別為R＝1 m和r＝0.5 m的甲、乙兩光滑圓軌道置于同一豎直平面內，兩軌道之間由一段光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上一輕彈簧被a、b兩小球夾住，現同時由靜止釋放兩小球，重力加速度取g＝10 m/s2.

①如果a、b小球都恰好能夠通過各自圓軌道的最高點，求兩小球的質量之比；

②如果a、b小球的質量均為0.5 kg，為保證兩小球都能夠通過各自圓軌道的最高點，求釋放兩小球前彈簧彈性勢能的最小值．

【答案】(1) (2)

【解析】根據牛頓第二定律得出最高點的速度，根據機械能守恒定律，動量守恒定律列出等式求解；由動量守恒定律知兩小球與彈簧分離時速度大小相等，再根據機械能守恒定律求解．

已知a、b小球恰好能通過各自圓軌道的最高點，則它們通過最高點時的速度大小分別為，

設兩小球與彈簧分離時的速度大小分別為 ，根據動量守恒定律有

根據機械能守恒定律有，，。聯立以上各式解得

②若ma=mb=0.5 kg，由動量守恒定律知兩小球與彈簧分離時速度大小相等

當a小球恰好能通過最高點時，b小球一定也能通過最高點，a小球通過最高點的速度為，此時彈簧的彈性勢能最小，最小值為

【點睛】解決該題關鍵能判斷出小球能通過最高點的條件，然后根據動量守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解。

【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖所示，在第一象限內有沿y軸負方向的電場強度大小為E的勻強電場．在第二象限中，半徑為R的圓形區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，圓形區域與x、y軸分別相切于A、C兩點．在A點正下方有一個粒子源P，P可以向x軸上方各個方向射出速度大小均為v0、質量為m、電荷量為＋q的帶電粒子(重力不計，不計粒子間的相互作用)，其中沿y軸正向射出的帶電粒子剛好從C點垂直于y軸進入電場．

(1)求勻強磁場的磁感應強度大小B.

(2)求帶電粒子到達x軸時的橫坐標范圍和帶電粒子到達x軸前運動時間的范圍．

(3)如果將第一象限內的電場方向改為沿x軸負方向，分析帶電粒子將從何處離開磁場，可以不寫出過程．

Answer 1

【答案】(1) (2)x的范圍，t的范圍 (3)從A點正上方的D點離開磁場

【解析】試題分析:由題設條件，從A點沿y軸正方向射出的帶電粒子剛好從C點垂直于y軸進入電場，由幾何關系知道它做勻速圓周運動的半徑為R，再由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應強度的大小；由于所有粒子做勻速圓周運動的半徑等于磁場圓的半徑，可以證明：沿不同方向進入磁場的帶電粒子離開磁場時方向均沿x軸正方向進入電場，之后做類平拋運動，顯然運動時間最長的帶電粒子是從D點水平射出的粒子，由類平拋運動運動規律就能求出打在x軸的最遠點；若將第一象限的電場改為沿x軸負方向，則粒子從磁場水平射出后做勻減速直線運動至速度為零，再沿x軸負方向做勻加速直線運動進入磁場做勻速圓周運動，由于速度方向反向，則粒子所受洛侖茲力反向，最后從D點射出磁場.

(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，從A點運動到C點的過程中帶電粒子的運動軌跡為個圓弧，軌跡半徑r=R

由，得

(2)沿不同方向進入磁場的帶電粒子離開磁場時的速度大小均為v0，方向均平行于x軸，其臨界狀態為粒子從D點沿x軸正方向離開磁場

分析粒子從D點離開磁場的情況，粒子在磁場中運動時間為，得

從D點平行于x軸運動至y軸的時間

在第一象限內運動過程中，粒子做類平拋運動，設運動時間為t3，則，，

解得，

則

帶電粒子到達x軸時的橫坐標范圍為

到達x軸前運動時間的范圍

(3)將第一象限內的電場方向改為沿x軸負方向時，帶電粒子將從A點正上方的D點離開磁場。