Question

【題目】一玻璃立方體中心有一點狀光源。今在立方體的部分表面鍍上不透明薄膜，以致從光源發出的光線只經過一次折射不能透出立方體。已知該玻璃的折射率為，求：

①以任一表面為例，計算鍍膜的面積與該表面積之比的最小值；

②請根據①的結論，寫出鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：作出光路圖，通過光線在鍍膜部分發生全反射，根據臨界情況，通過幾何關系求出鍍膜的面積與該表面積之比和鍍膜面積與立方體表面積之比的最小值。

①光路如圖所示，

考慮從玻璃立方體中心O點發出的一條光線，假設它斜射到玻璃立方體上表面發生折射。根據折射定律有式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角。

現假設A點是上表面面積最小的不透明薄膜邊緣上的一點。由題意，在A點剛好發生全反射，故αA＝

則sinθ =，θ=。

根據，得RA=

由題意，該表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應是半徑為RA的圓。所求的鍍膜面積S′與玻璃立方體的表面積S之比為

②鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值。