Question

【題目】如圖所示，傾角 30°的光滑斜面上，輕質彈簧兩端連接著兩個質量均為 m=1kg 的物塊 B 和 C，C 緊靠著擋板 P，B 通過輕質細繩跨過光滑定滑輪與質量 M=8kg 的小球 A 連接，B 與滑輪之間的距離足夠遠，細繩平行于斜面，A 在外力作用下靜止在圓心角為 60°、半徑 R=2m 的光滑圓弧軌道的頂端 a 處，此時繩子恰好拉直且無張力；圓弧軌道最低端 b 與粗糙水平軌道 bc 相切，bc 與一個半徑 r=0.2m 的光滑圓軌 道平滑連接。由靜止釋放小球 A，當 A 滑至 b 點時，C 恰好離開擋板 P，此時連接 AB 的繩子在小球 A 處斷裂， 已知小球 A 與 bc 間的動摩擦因數= 0.1 ，重力加速度 g 取 10m/s2，彈簧的形變始終在彈性限度內，所有裝置在同一豎直平面內，細繩不可伸長。

（1）求彈簧的勁度系數 k;

（2）小球A滑到b處，繩子剛好斷后瞬間，小球A對圓軌道的壓力為多少？

（3）為了讓小球 A 能進入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離應滿足什么條件?

Answer 1

【答案】（1）k=5N/m（2）144N，方向豎直向下（3）x≤3m,或者6m≤x≤8m

【解析】（1）A在a處時，繩子拉直無張力，彈簧壓縮，設壓縮量為，彈簧彈力為

；
A在b處時，彈簧伸長，設伸長量為，那么， ；又有當A滑至b時，C恰好離開擋板P，所以，彈簧彈力；
所以， ，所以， ；
（2）A從a到b過程由，ABC及彈簧系統只有重力、彈簧彈力做功，且A在a處和b處，彈簧的形變量相同，故彈性勢能不變，彈簧彈力做功為零；那么，ABC及彈簧系統機械能守恒；
設A在b處的速度為，那么，B的速度為A的速度在沿繩子方向的分速度，故B的速度，則由動能定理可得：

，所以， ；
對物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間應用牛頓第二定律，則有，所以， ；
故由牛頓第三定律可知：物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大小為，方向豎直向下；
（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，那么，物塊A在圓軌道上可能達到的最高點或者；
那么，當時，對物體A在最高點應用牛頓第二定律有；
A在圓軌道上運動，機械能守恒，所以，A在c處的動能

；
當時，由機械能守恒可得A在c處的動能，所以，A在c處的動能為或；
又有A在b處的動能；
A從b到c運動過程，只有摩擦力做功，且摩擦力；故由動能定理可得： ，所以， 或；