Question

【題目】靜止在水平面上的小車固定在剛性水平輕桿的一端，桿的另一端通過小圓環(huán)套在豎直光滑的立柱上。每當(dāng)小車停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，車上的彈簧槍就會(huì)沿垂直于輕桿的水平方向自動(dòng)發(fā)射一粒彈丸，然后自動(dòng)壓縮彈簧并裝好一粒彈丸等待下次發(fā)射，直至射出所有彈丸。下圖為該裝置的俯視圖。已知未裝彈丸的小車質(zhì)量為M，每粒彈丸的質(zhì)量為m，每次發(fā)射彈丸釋放的彈性勢(shì)能為E，發(fā)射過程時(shí)間極短：小車運(yùn)動(dòng)時(shí)受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反、大小為小車對(duì)地面壓力λ倍的作用力；忽略所有摩擦阻力，重力加速度為g。

(1)若小車上只裝一粒彈丸，求彈丸被射出時(shí)小車的速度大��；

(2)若(l)問中發(fā)射彈丸后小車恰能運(yùn)動(dòng)一周，求射出彈丸時(shí)，桿對(duì)小車的拉力大小；

(3)若小車上共裝25粒彈丸，輕桿能承受的最大拉力 (L為小車做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑），則須滿足什么條件輕桿才不會(huì)被拉斷？小車做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ，

【解析】

（1）對(duì)彈丸和小車的系統(tǒng)，發(fā)射彈丸的瞬時(shí)滿足動(dòng)量守恒和能量守恒，列式求解彈丸被射出時(shí)小車的速度大�。唬�2）根據(jù)動(dòng)能定理求解剛發(fā)射完彈丸時(shí)小車的速度，根據(jù)拉力等于向心力求解桿的拉力；（3）分析發(fā)射彈丸的整個(gè)過程，可知當(dāng)彈丸完全發(fā)射完時(shí)桿的拉力最大，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解小車做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程的最大值.

（1）發(fā)射彈丸的過程，遵守動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒；mu=Mv

E=mu2+Mv2

解得

（2）發(fā)射彈丸后，小車做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為L，由動(dòng)能定理可得：

x=2πL

彈丸剛被射出時(shí)桿受到的拉力：

聯(lián)立解得F=4πλMg

（3）某次發(fā)射后，小車（連同彈簧槍）和車載彈丸的總質(zhì)量為Mk=km(k從某一較大值開始減小，可取25個(gè)值，且k>25)

與上述同理可知：

由此可知，彈丸全部射完，k取最小值M/m時(shí)，桿的拉力最大，若此時(shí)還能滿足，則桿不會(huì)被拉斷，解得

與上述同理可知，某次發(fā)射后到下一次發(fā)射前小車做圓周運(yùn)動(dòng)的路程：

由此式可知，每發(fā)射一粒彈丸后，小車做圓周運(yùn)動(dòng)的路程增大一些，因此要小車做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程最大，k應(yīng)該取最小的25個(gè)值（對(duì)應(yīng)將25粒彈丸全部射出），即應(yīng)取取k=59、58、……、35，

最大總路程為

解得