Question

在用高級瀝青鋪設的高速公路上，汽車的設計時速是108km/h．汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.8倍．如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設彎道的路面是水平的，為使汽車不發生側向滑動其彎道的最小半徑是多少？如果高速路上設計了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠通過圓弧拱橋的最高點而不離開地面，這個圓弧拱橋的半徑至少是多少？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運動，其向心力是車與路面間的靜摩擦力提供，當靜摩擦力達到最大值時，由向心力公式可知這時的半徑最小，寫出運動學方程，即可求得結果．
汽車過拱橋，看作在豎直平面內做勻速圓周運動，到達最高點時，重力與支持力的合力提供向心力；為了保證安全，車對路面間的彈力F_N必須大于零．

解答：解：汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運動，其向心力是車與路面間的靜摩擦力提供，當靜摩擦力達到最大值時，由向心力公式可知這時的半徑最小，有：
F_m=0.8mg≥m

v2

r

由速度v=30m/s，解得彎道半徑為：
r≥

900

8

=112.5m；
汽車過拱橋，看作在豎直平面內做勻速圓周運動，到達最高點時，根據向心力公式有：
mg-F_N=m

v2

R

為了保證安全，車對路面間的彈力F_N必須大于零，則有 mg＞m

v2

R

解得：R＞

v2

g

=

900

10

=90m．
答：彎道的最小半徑是180m，這個圓弧拱橋的半徑至少是90m．

點評：該題考查汽車在水平面內的轉彎問題與在豎直平面內過拱形橋的問題，屬于向心力的基本應用，中檔題目．