Question

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底．在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動．開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示．現用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動，已知管筒半徑r=0.100m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大氣壓ρ₀=1.00×10⁵Pa．求活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長．不計活塞質量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s²．）

Answer 1

從開始提升到活塞升至內外水面高度差為h0=

P0

ρg

=10m的過程中，活塞始終與管內液體接觸．（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現真空，另行討論．）設活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，有：h₀=h₁+h₂
因液體體積不變，有：h2=h1 (

πr2

πR2-πr2

)=

1

3

h1 
得：h1=

3

4

h0=

3

4

×10m=7.5m  
題給H=9m＞h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程．
活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他力所做的功．因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即
  △E=ρ(πr2h1)g

h0

2

 
其它力有管內、外的大氣壓力和拉力F．因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓力做的總功P0π(R2-r2) h2- P0πr2h1=0，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能關系知
        W₁=△E         
即W1=ρ(πr2)g

3

8

h

20

=

3

8

πr2

P 20

ρg

=1.18×104J
活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F是恒力F=πr²P₀，做功
w2=F(H-h1) =πr2

P

20

(H-h1)=4.71×103J
所求拉力F做的總功為：W₁+W₂=1.65×10⁴ J．
答：活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功為1.65×10⁴ J．