Question

如圖所示，在半徑為R，質量分布均勻的某星球表面，有一傾角為Θ的 斜坡．以初速度v₀向斜坡水平拋出一個小球．測得經過時間t，小球垂直落在斜坡上的C點．求：
（1）小球落到斜坡上時的速度大小v；
（2）該星球表面附近的重力加速度g；
（3）求該星球的第一宇宙速度v?； 
（4）衛星在離星球表面為R的高空繞星球做勻速圓周運動的周期T．

Answer 1

分析：（1）小球垂直落在斜坡上的C點時速度的方向與豎直方向之間的夾角是θ，利用速度的合成與分解可以求出小球落到斜坡上的速度大小v；
（2）根據運動學的公式求出月球表面附近的重力加速度g；
（3）根據萬有引力提供向心力，可得第一宇宙速度；
（4）星球表面的重力由萬有引力提供，繞星球表面做勻速圓周運動的衛星的向心力由萬有引力提供，寫出公式即可求解．

解答：解：（1）小球做平拋運動，由速度的合成與分解圖可知
sinθ=

v0

v

，
解得：v=

v0

sinθ

（2）由圖可知 tanθ=

v0

vy

又v_y=g_星t  則得，g_星=

v0

t?tanθ

（3）根據萬有引力提供向心力得，G

Mm

R2

=

mv2

R

GMm

R2

=mg星
則：v=

GM R

=

gR

=

v0R t?tanθ

（4）設星球質量為M，衛星質量為m，
則有：

GMm

(2R)2

=

m4π2?2R

T2

故：T2=

32π2R3

GM

=

32π2R3

R2g星

=

32π2Rt

v0

tanθ
故T=4π

2Rt v0 tanθ

答：（1）小球落到斜坡上時的速度大小為

v0

sinθ

；
（2）該星球表面附近的重力加速度為

v0

t?tanθ

；
（3）求該星球的第一宇宙速度為

v0R t?tanθ

； 
（4）衛星在離星球表面為R的高空繞星球做勻速圓周運動的周期為4π

2Rt v0 tanθ

．

點評：該題把平拋運動與萬有引力相結合，有一定的難度．根據相關的知識和公式即可求解．屬于中檔題目，