Question

如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為L，電阻忽略不計且足夠長，導 軌平面的傾角為α，斜面上相隔為d的平行虛線MN與PQ間有磁感應強度大小為B的勻強磁場，方向與導軌平面垂直，另有一長為2d的絕緣桿將一導體棒和一邊長為d（d< L）的正方形單匝線框連在一起組成一固定的裝置，總質量為m，導體棒中通過大小恒為I的電流。將整個裝置置于導軌上，線框下邊與PQ重合，釋放后裝置沿斜面開始下滑，當導體棒運動到MN處恰好第一次開始返回，經過若干次往返后，最終整個裝置在斜面上做恒定周期的往復運動，導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直。求：
（1）在裝置第一次下滑的過程中，線框中產生的熱量Q；
（2）畫出整個裝置在第一次下滑過程中的速度一時間（v-t ）圖像；
（3）裝置最終在斜面上做往復運動的最大速率v_m；
（4）裝置最終在斜面上做往復運動的周期T。

Answer 1

解：（1）設裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中，安培力對線框做功的大小為W
mgsinα·4d－W－BIL·d=0
解得W=4mgdsinα－BILd
線框中產生的熱量Q=W=4mgdsinα－BILd
（2）
（3）裝置往復運動的最高位置：線框的上邊位于MN處
速度最大的位置：導體棒位于PQ處，由
解得
（4）向下加速過程ma₁=mgsinα，
向下減速過程ma₂=BIL－mgsinα，