Question

（2005?肇慶模擬）如圖所示，由粗細相同的導線制成的正方形線框邊長為L，每條邊的電阻均為R，其中ab邊材料的密度較大，其質量為m，其余各邊的質量均可忽略不計，線框可繞與cd邊重合的水平軸OO′自由轉動，不計空氣阻力和摩擦，若線框從水平位置由靜止釋放，經歷時間t到達豎直位置，此時ab邊的速度大小為v，若線框始終處于方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中，重力加速度為g．求：
（1）線框至豎直位置時，ab邊兩端的電壓及所受安培力的大小．
（2）在這一過程中，線框中感應電流做的功及感應電動勢的有效值．
（3）在這一過程中，通過線框導線橫截面的電荷量．

Answer 1

分析：（1）根據切割產生的感應電動勢公式求出電動勢，根據閉合電路歐姆定律求出ab兩端的電壓，以及電流的大小，通過安培力大小公式求出安培力的大小．
（2）根據能量守恒定律求出整個過程中的熱量，抓住克服克服力做功等于產生的熱量求出感應電流做的功，以及通過熱量的公式求出感應電動勢的有效值．
（3）根據法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律求出平均電流，從而求出通過線框導線橫截面的電荷量．

解答：解：（1）線框運動到豎直位置時，ab邊切割磁感線產生感應電動勢為：
E=BLv
線框中的電流為：I=

E

4R

ab兩端的電壓為Uab=I?3R=

3

4

BLv
ab邊所受安培力為F安=BIL=

B2L2v

4R

（2）線框下落過程中機械能的減少等于線框中產生的焦耳熱，所以有：
mgL-

1

2

mv2=Q
所以感應電流做功為mgL-

1

2

mv2．
又因Q=(

E有

4R

)2?4R?t
解得：E有=2

(mgL- 1 2 mv2)R t

（3）對于線框的下擺過程，垂直磁場線框的面積變化為：
△s=L²
線框中的平均感應電動勢為：

.

E

=

△Φ

△t

線框中的平均電流為：

.

I

=

. E

4R

=

B△S

4R△t

通過導線橫截面的電荷量為：
q=

.

I

△t=

BL2

4R

答：（1）線框至豎直位置時，ab邊兩端的電壓為

3

4

BLv，安培力大小為

B2L2v

4R

．
（2）在這一過程中，線框中感應電流做的功為mgL-

1

2

mv2，感應電動勢的有效值為E有=2

(mgL- 1 2 mv2)R t

．
（3）在這一過程中，通過線框導線橫截面的電荷量

BL2

4R

．

點評：解決本題的關鍵掌握瞬時感應電動勢和平均感應電動勢的求法，以及知道它們的區別．