Question

（2009?天津模擬）2009年3月1日16時(shí)13分10秒，中國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器（嫦娥一號(hào)）成功實(shí)現(xiàn)“受控撞月”，為我國(guó)探月一期工程畫上圓滿的句號(hào)．
（1）設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測(cè)器在離月球表面高為h的圓形環(huán)月軌道上正常運(yùn)行．求它在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大小；
（2）假設(shè)此次進(jìn)行“受控撞月”開始的過(guò)程按圖甲所示進(jìn)行，探測(cè)器在A點(diǎn)向前短時(shí)間噴氣，減速后的探測(cè)器做向心運(yùn)動(dòng)沿曲線到達(dá)月球表面附近的B點(diǎn)．設(shè)探測(cè)器到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度大小為v_B，從A到B的空間范圍內(nèi)的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，噴出的氣體相對(duì)于月球表面的速度大小為u，求噴出氣體的質(zhì)量；
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，圖乙所示為探測(cè)器到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度方向的示意圖，為了使探測(cè)器能夠沿此方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?jiān)趫D乙中用由坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)的有向線段表示出可能的一種發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

，月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力G

Mm

R2

=mg．由此兩式可解得它在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大小v₀．
（2）從A到B衛(wèi)星和月球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2，噴氣過(guò)程中衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)噴射出氣體的質(zhì)量為△m，mv₀=（m-△m）v_A+△m?u．結(jié)合v₀的值，可解得噴出氣體的質(zhì)量△m．
（3）為了使探測(cè)器能夠沿v_B方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間某一條直線上．

解答：解：（1）設(shè)月球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的線速度為v₀，則
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

-------------①
又月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力G

Mm

R2

=mg---------②
由①②兩式得
v0=R

g R+h

---------------------------③
（2）設(shè)衛(wèi)星在A點(diǎn)減速后的速度為v_A
從A到B衛(wèi)星和月球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2----------------------④
噴氣過(guò)程中衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)噴射出氣體的質(zhì)量為△m，所以
mv₀=（m-△m）v_A+△m?u---------------------⑤
由③、④、⑤式解得
△m=

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

------------------⑥
（3）為了使探測(cè)器能夠沿v_B方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探測(cè)器已受月球的引力，沿y周負(fù)方向，故發(fā)動(dòng)機(jī)的推力一定要在y軸正方向和v_B之間，這樣合力才可能沿v_B的方向．
所以發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間某一條直線上．
故由O點(diǎn)出發(fā)在y軸負(fù)方向和v_B反方向之間的有向線段都正確（不包括y軸負(fù)方向和v_B的反方向）．
答：（1）設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測(cè)器在離月球表面高為h的圓形環(huán)月軌道上正常運(yùn)行．它在此軌道上正常運(yùn)行的線速度大小為R

g R+h

；
（2）假設(shè)此次進(jìn)行“受控撞月”開始的過(guò)程按圖甲所示進(jìn)行，探測(cè)器在A點(diǎn)向前短時(shí)間噴氣，減速后的探測(cè)器做向心運(yùn)動(dòng)沿曲線到達(dá)月球表面附近的B點(diǎn)．設(shè)探測(cè)器到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度大小為v_B，從A到B的空間范圍內(nèi)的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，噴出的氣體相對(duì)于月球表面的速度大小為u，噴出氣體的質(zhì)量為

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

；
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，圖乙所示為探測(cè)器到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度方向的示意圖，為了使探測(cè)器能夠沿此方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，在圖乙中用由坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)的有向線段表示出可能的一種發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣方向如上圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是兩個(gè)理論的應(yīng)用：1．萬(wàn)有引力提供向心力，即G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

；2．萬(wàn)有引力近似等于重力，G

Mm

R2

=mg．