Question

如圖所示，兩根足夠長的光滑直金屬導軌MN、PQ平行固定在傾角θ=37°的絕緣斜面上，兩導軌間距L=1m，導軌的電阻可忽略．M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量m=1kg、電阻r=0.2Ω的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，與導軌垂直且接觸良好．整套裝置處于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．自圖示位置起，桿ab受到大小為F=0.5v+2（式中v為桿ab運動的速度，力F的單位為N）、方向平行導軌沿斜面向下的拉力作用，由靜止開始運動，測得通過電阻R的電流隨時間均勻增大．g取10m/s²，sin37°=0.6．
（1）試判斷金屬桿ab在勻強磁場中做何種運動，并請寫出推理過程；
（2）求電阻R的阻值；
（3）已知金屬桿ab自靜止開始下滑x=1m的過程中，電阻R上產生的焦耳熱為Q₁=0.8J，求該過程需要的時間t和拉力F做的功W．

Answer 1

分析：（1）根據閉合電路歐姆定律得到通過電阻R的電流與速度的關系，根據通過電阻R的電流隨時間均勻增大，分析速度如何變化，判斷金屬桿做何種運動．
（2）根據牛頓第二定律得到加速度與速度的表達式，由于勻加速運動，加速度與速度無關，求出加速度的大小，再求解R．
（3）由位移公式求出金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t．電路中總的焦耳熱為Q=

R+r

R

Q₁，根據能量守恒定律求解拉力F做的功W．

解答：解：（1）通過R的電流I=

E

R+r

=

BLv

R+r

，由題意，通過R的電流I隨時間均勻增大，則知桿ab的速度v隨時間均勻增大，桿的加速度為恒量，故金屬桿做勻加速運動．     
（2）桿所受的安培力大小為 F_A=BIL=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

對桿，根據牛頓第二定律有：F+mgsinθ-F_A=ma，
將F=0.5v+2代入得：2+mgsinθ+（0.5-

B2L2

R+r

）v=ma，
因勻加速運動的加速度a與v無關，
所以a=

2+mgsinθ

m

=8m/s²，
0.5-

B2L2

R+r

=0，
得R=0.3Ω      
（3）由x=

1

2

at²得，所需時間t=

2x a

=

2×1 8

s=0.5s，此時ab桿的速度為v=at=4m/s                   
電路中總的焦耳熱為：Q=

R+r

R

Q₁=

0.3+0.2

0.3

×0.8J=

4

3

J
由能量守恒定律得：W+mgxsinθ=Q+

1

2

mv²  
解得：W=

10

3

J≈3.3J        
答：（1）金屬桿做勻加速運動．
（2）電阻R的阻值是0.3Ω．
（3）該過程需要的時間t是0.5s，拉力F做的功W是3.3J．

點評：本題首先根據電流與速度的關系，分析桿ab的運動情況，再根據牛頓第二定律推導出加速度與速度的表達式，根據勻加速運動加速度不變的特點，求出電阻，難度較大．