Question

如圖所示，ABC為一細圓管構成的

3

4

圓軌道，將其固定在豎直平面內，軌道半徑為R（比細圓管的半徑大得多），OA水平，OC豎直，最低點為B，最高點為C，細圓管內壁光滑．在A點正上方某位置有一質量為m的小球（可視為質點）由靜止開始下落，剛好進入細圓管內運動．已知細圓管的內徑稍大于小球的直徑，不計空氣阻力．
（1）若小球經過C點時恰與管壁沒有相互作用，求小球經過C點時的速度大小；
（2）若小球剛好能到達軌道的最高點C，求小球經過最低點B時的速度大小和軌道對小球的作用力大小；
（3）若小球從C點水平飛出后恰好能落回到A點，求小球剛開始下落時距離A點的高度．

Answer 1

分析：小球經過C點時恰與管壁沒有相互作用，重力充當向心力，可求解；
小球剛好能到達軌道的最高點C，則小球通過C點的速度為零，由動能定理和牛頓第二定律聯立列式可求解；
小球從C點水平飛出，做平拋運動，由平拋運動規律和機械能守恒列式可求解．

解答：解：（1）設通過C點時小球速度為v_c，
小球與管壁沒有相互作用，則重力充當向心力，即：mg=

m v 2 c

R

解得：v_c=

gR

（2）小球恰好通過C點，故小球通過C點的速度為零，
對小球由B到C的過程根據動能定理，有：0-

1

2

m

v

2 B

=mg2R   ①
又由小球經過B點時，由牛頓第二定律：FN-mg=

m v 2 B

R

      ②
①②聯立可得：v_B=2

Rg

，F_N=5mg
（3）小球從C點飛出后做平拋運動，
豎直方向：R=

1

2

gt2
水平方向：R=v_c′t
解得：v_c′=

gR 2

由初末機械能守恒可得：mg(h-R)=

1

2

m

v′

2 c

解得：h=

5

4

R
答：（1）若小球經過C點時恰與管壁沒有相互作用，小球經過C點時的速度大小為

gR

；
（2）若小球剛好能到達軌道的最高點C，小球經過最低點B時的速度大小為2

Rg

，軌道對小球的作用力大小為5mg；
（3）若小球從C點水平飛出后恰好能落回到A點，小球剛開始下落時距離A點的高度為

5

4

R．

點評：本題為動能定理與圓周運動的結合的綜合題，解決本題的關鍵掌握動能定理，以及知道做圓周運動沿半徑方向的合力提供向心力．