Question

如圖所示，在豎直方向上A、B物體通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過細繩繞過光滑輕質定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上，斜面傾角為30°，用手按住C，使細繩剛剛拉直但無拉力作用，ab段的細繩豎直、cd段的細繩與斜面平行．已知A、B的質量均為m，重力加速度為g，開始時整個系統處于靜止狀態，釋放C后它沿斜面下滑，斜面足夠長，且物體A恰不離開地面．求：
（1）物體A恰不離開地面時，物體C下降的高度；
（2）物體C的質量是多少？
（3）其他條件不變，若把C換為質量為4m的物體D，釋放D后它沿斜面下滑，當A剛要離開地面時，物體B的速度為多大？

Answer 1

分析：（1）物體A恰不離開地面時，彈簧的彈力恰好等于A的重力．根據胡克定律分別求出開始時彈簧的壓縮量和物體A恰不離開地面時的伸長量，根據幾何關系求出物體C下降的高度；
（2）物體C沿斜面下滑，當物體A恰不離開地面時，物體C的速度為零，以物體C、B和彈簧整體為研究對象，根據機械能守恒定律列式，求出C的質量；
（3）以物體D、B和彈簧整體為研究對象，根據機械能守恒定律求解B的速度．

解答：解：（1）初始整個系統處于靜止狀態，以物體B為研究對象可知，彈簧處于壓縮狀態，則：
  mg=kx₁   ①
當物體A恰不離開地面時，以物體A為研究對象可知，彈簧處于伸長狀態，則：
  mg=kx₂    ②
因而物體C下降的高度為：h=（x₁+x₂）sin30° ③
聯立解得：h=

mg

k

（2）物體C沿斜面下滑，當物體A恰不離開地面時，物體C的速度為零，以物體C、B和彈簧整體為研究對象，設物體C的質量為M，根據機械能守恒定律可知：
  Mg（x₁+x₂）sin30°=mg（x₁+x₂）+△E_p    ④
由①②得：x₁=x₂，故△E_p=0
解得：M=2m
（3）把物體C換為物體D后，當物體A剛要離開地面時，此時物體D和物體B的速度大小相等設為v，以物體D、B和彈簧整體為研究對象，根據機械能守恒定律可知：
   4mg（x₁+x₂）sin30°=mg（x₁+x₂）+

1

2

×5mv2+△E_p    ④
聯立解得物體B的速度大小為：v=

4mg2 5k

答：
（1）物體A恰不離開地面時，物體C下降的高度為

mg

k

；
（2）物體C的質量是2m．
（3）其他條件不變，若把C換為質量為4m的物體D，釋放D后它沿斜面下滑，當A剛要離開地面時，物體B的速度為

4mg2 5k

．

點評：本題是力與能的綜合題，關鍵對初始位置和末位置正確地受力分析，以及合理選擇研究的過程和研究的對象，運用機械能守恒定律求解．