Question

如圖所示，在質量為M=0.99kg的小車上，固定著一個質量為m=10g、電阻R=1Ω的矩形單匝線圈MNPQ，其中MN邊水平，NP邊豎直，高度l=0.05m．小車載著線圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做勻速運動，隨后進入一水平有界勻強磁場（磁場寬度大于小車長度），完全穿出磁場時小車速度v₁=2m/s．磁場方向與線圈平面垂直并指向紙內、磁感應強度大小B=1.0T．已知線圈與小車之間絕緣，小車長度與線圈MN邊長度相同．求：
（1）小車剛進入磁場時線圈中感應電流I的大小和方向；
（2）小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q；
（3）小車進入磁場過程中線圈克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）小車剛進入磁場時線圈切割磁感線產生感應電動勢，由公式E=Blv求出感應電動勢，根據歐姆定律求解感應電流的大小，根據楞次定律判斷感應電流的度方向；
（2）小車通過磁場的過程中，小車與線圈的總動能減小轉化為內能，根據能量守恒定律求解熱量Q；
（3）要求小車進入磁場過程中線圈克服安培力所做的功W，關鍵要求小車完全進入磁場后的速度v．根據牛頓第二定律和加速度的定義式a=

△v

△t

、電量q=i△t結合得到小車進入磁場過程中小車的速度變化量與電量的關系式，同理得到小車離開磁場時速度變化量與電量的關系式，由于進入和離開磁場兩個過程中，通過線圈的電量大小相等，聯立即可求解速度v，再根據功能關系求解W．

解答：解：
（1）線圈切割磁感線的速度v₀=10m/s，感應電動勢為 E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由閉合電路歐姆定律得，線圈中電流為　I=

E

R

=

0．5

1

=0．5A          
由楞次定律知線圈中感應電流方向為 M→Q→P→N→M    
（2）線圈進入磁場和離開磁場時克服安培力做功，動能轉化成電能，產生的電熱為
  Q=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

=

1

2

×1×102-

1

2

×1×22=48（J）
（3）設小車完全進入磁場后速度為v，在小車進入磁場從t時刻到t+△t時刻（△t→0）過程中，根據牛頓第二定律得
  -Bil=m

△v

△t

即-Bl?i△t=m△v，
而i△t=q_入
求和得 BLq_入=m（v₀-v） 
同理得 
  BLq_出=m（v-v₁） 
而 q=i△t=

E

R

?△t=

△Φ

R?△t

?△t=

△Φ

R

又線圈進入和穿出磁場過程中磁通量的變化量相同，因而有 q_入=q_出
故得  v₀-v=v-v₁  即有 v=

v0+v1

2

=6 m/s 
所以，小車進入磁場過程中線圈克服安培力做功
W_克=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）v²=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32（J）
答：
（1）小車剛進入磁場時線圈中感應電流I的大小為0.5A，方向為 M→Q→P→N→M；
（2）小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q為48J；
（3）小車進入磁場過程中線圈克服安培力所做的功W為32J．

點評：本題的解題關鍵是根據牛頓第二定律，運用積分法求解小車進入磁場后的速度v，也可以根據動量定理列式求出v．