Question

中新社上海9月6日電 （記者 宗晨亮）中國空間技術研究院副院長李明6日在此間透露，承擔中國探月計劃第三期工程的“嫦娥三號”，將實驗包括月球表面軟著陸、月夜生存等在內的多項深空探測關鍵技術，為了科研的需要，假設我國月球車在月球表面為了推一個石塊，現將其等效成一個物體在斜面上的模型．物體在傾角為θ的斜面上，物體受到月球車手臂力的作用而靜止，已知物體重G．
（1）若斜面光滑，保持物體A靜止，則求月球車對物體A的力的最小值；
（2）物體與斜面間粗糙，物體與斜面的動摩擦系數?，可以認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等．現月球車對物體A一個水平向右的力，仍能保持物體A靜止，則水平力的范圍．

Answer 1

分析：（1）分析物體A的受力情況，運用作圖法分析月球車對物體A的力取得最小值的條件，再由平衡條件求出最小值．
（2）當物體A恰好向上滑動時，水平力最大，此時物體受到的靜摩擦力沿斜面向下達到最大；當物體A恰好向下滑動時，水平力最小，此時物體受到的靜摩擦力沿斜面向上達到最大．根據平衡條件和摩擦力公式列方程求解水平力的范圍．

解答：解：
（1）分析物體A的受力情況：重力、斜面的支持力和月球車的作用力，運用作圖法如圖，分析得知，當月球車的作用力沿斜面向上時最小．根據平衡條件得
    月球車對物體A最小的作用力F_min=mgsinθ
（2）當物體A恰好向上滑動時，水平力最大，此時物體受到的靜摩擦力沿斜面向下達到最大．根據平衡條件得
    F₁cosθ=f₁cosθ+mgsinθ
    F₁sinθ+mgcosθ=N₁
又f₁=μN₁，
聯立三式得
   F₁=

mg(sinθ+μcosθ)

1-μsinθ

當物體A恰好向下滑動時，水平力最小，此時物體受到的靜摩擦力沿斜面向上達到最大．
同理可得，F的最小值為F₂=

mg(sinθ-μcosθ)

1+μsinθ

所以，水平力的范圍為

mg(sinθ-μcosθ)

1+μsinθ

≤F≤

mg(sinθ+μcosθ)

1-μsinθ

．
答：
（1）若斜面光滑，保持物體A靜止，月球車對物體A的力的最小值為mgsinθ；
（2）水平力的范圍為

mg(sinθ-μcosθ)

1+μsinθ

≤F≤

mg(sinθ+μcosθ)

1-μsinθ

．

點評：本題難點是臨界條件的確定，運用作圖法，也可以運用函數法分析．難度較大．