Question

光滑絕緣水平面上有甲、乙、丙三個很小的金屬球，質量均為m，甲不帶電，乙帶電量為+q，丙帶電量為+

1

2

q．如圖所示，空間存在半徑為R，垂直于水平面的兩勻強有界磁場．磁場區域半徑R=

mv0

qB0

，以磁場圓心為坐標原點建立坐標系，y軸左側磁場向上，右側向下，磁感應強度大小分別為B₀和4B₀．若t=0時刻，甲從B點以速率v₀沿著+x軸方向射出，同時，乙在第二象限內磁場內也以速率v₀從某點E射出，兩小球恰好在坐標原點O處相碰．碰撞瞬間能量無任何損失，且甲、乙發生速度互換．已知碰后甲速度與+x軸夾角為θ=

π

3

，而乙速度沿+x軸方向．且碰后，甲、乙兩球帶電量均變為+

1

2

q．阻力及小球間的靜電力忽略不計．
注意：下面求解的位置坐標，都要化簡為關于磁場區域半徑R的表達式．
（1）試求乙在左側磁場中圓周運動圓弧

EO

的圓心O₁，坐標（x₁、y₁）；
（2）若甲、乙相碰在O點時，丙從磁場邊界

ADC

半圓弧上某點F，以速率v₀射入磁場，要使丙射出后用最短的時間和乙在某點G處相碰撞，試求出G點坐標（x₂、y₂）；
（3）若甲、乙相碰在O點時，丙從第一象限內磁場中的某點H，以速率v₀射出后，恰好能在（2）問中的G點和乙球相碰，碰撞瞬間，乙、丙速度互換，此后乙又和甲在某點I發生了碰撞．試求I點坐標（x₃、y₃）．

Answer 1

分析：粒子在磁場中受到洛倫茲力，在洛倫茲力作用下粒子做勻圓周運動，此時滿足洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，可得粒子做圓周運動的半徑R=

mv

qB

，粒子做圓周運動的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

，根據粒子運動軌跡和磁場區域的特征可以求出相應點的坐標，同時根據粒子做圓周運動所轉過的圓心角與周期間的關系可以求出粒子的運動時間．

解答：解：（1）乙球在左側磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力有：
qv0B=m

v 2 0

r1

則乙球做圓周運動的半徑r1=

mv0

qB0

所以有：r₁=R
如圖：

根據幾何關系∠BOO₁=

π

6

O₁點的橫坐標x1=-Rcos

π

6

=-

3

2

R
O₁點的縱坐標y1=-Rsin

π

6

=-

1

2

R
（2）甲、乙碰撞后帶電量各為+

q

2

，和丙帶電量相同，因此甲、乙、丙在在右側磁場區域的圓周運動半徑相同，均為
r2=

mv0

4B0 q 2

=

mv0

2B0q

即：r2=

R

2

丙和乙在右側磁場的運動同步進行，二者運動圓弧所對的統長始終相等，若要使丙和乙盡快相撞，那么二者相遇時，運動軌跡所對的弦長就要最短，如圖所示，當乙、丙進入右側場區的出發點連線OF和+x方向夾角∠FOD=

π

6

時，乙、丙會在OF連線的中點G處相撞，根據幾何關系，此情景對應時間最短．

最短時間為

T

6

又因為T=

2πm

4B0 q 2

=

πm

B0q

所以最短時間為

πm

6B0q

此時G點坐標：x2=

R

2

cos

π

6

=

3 R

4

             y2=

R

2

sin

π

6

=

1

4

R
（3）丙和乙要能夠在G點碰撞那么，丙的出發點H和G的距離HG一定等于OG長度，以G點為圓心旋轉丙的運動軌跡圓，當該軌跡圓和甲運動的軌跡圓弧相交于x軸上的I點時，可以滿足題設條件：即丙從H點射出后，經過

T

6

和乙球在G點相碰，乙、丙速度互換，此后又經過

T

6

，乙和甲在I點發生了碰撞．
如圖：

根據幾何關系可知：
I點的橫坐標：x3=2

R

2

cos

π

6

=

3 R

2

I點的縱坐標y₃=0
答：（1）乙在左側磁場中圓周運動圓弧

EO

的圓心O₁，坐標（-

3 R

2

，-

R

2

）；
（2）若甲、乙相碰在O點時，丙從磁場邊界

ADC

半圓弧上某點F，以速率v₀射入磁場，要使丙射出后用最短的時間為

πm

6B0q

和乙在某點G處相碰撞的坐標（

3 R

4

，

R

4

）；
（3）若甲、乙相碰在O點時，丙從第一象限內磁場中的某點H，以速率v₀射出后，恰好能在（2）問中的G點和乙球相碰，碰撞瞬間，乙、丙速度互換，此后乙又和甲在某點I發生了碰撞，則I點坐標（-

3 R

2

，0）．

點評：能正確處理洛倫茲力提供向心力算得粒子做圓周運動半徑與周期間的關系，能在磁場圖中正確的畫出粒子圓周運動的軌跡，根據幾何關系可以求得相應的結果．解決本題的根本是正確畫出粒子的運動軌跡，并能根據半徑周期關系求出相應點的坐標和時間．