Question

（2005?北京）

AB

是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，在下端B與水平直軌道相切，如圖所示．一小球自A點(diǎn)起由靜止開(kāi)始沿軌道下滑．已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦．求
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)的速度大小和方向
（3）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時(shí)，所受軌道支持力N_B、N_C各是多大？

Answer 1

分析：（1）整個(gè)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，可以求得小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（2）在根據(jù)機(jī)械能守恒可以求得小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)的速度大小和方向；
（3）對(duì)小球受力分析，由牛頓第二定律可以求得支持力的大小．

解答：解：（1）從A到B的過(guò)程中，機(jī)械能守恒  
所以 E_k=mgR．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒△E_k=△E_p

1

2

mv²=

1

2

mgR
所以小球速度大小　v=

gR

，
速度方向沿圓弧的切線向下，
小球距水平軌道的高度為

1

2

R，由三角形的關(guān)系可知，小球與豎直方向的夾角為30°．
（3）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及機(jī)械能守恒，在B點(diǎn)
N_B-mg=m

V 2 B

R

，
mgR=

1

2

mv_B²
解得  N_B=3mg
在C點(diǎn)時(shí)，小球受力平衡，所以 N_C=mg．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為mgR．
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時(shí)的速度大小為

gR

，方向?yàn)檠貓A弧的切線向下，與豎直方向成30°．
（3）所受軌道支持力N_B為3mg，N_C為mg．

點(diǎn)評(píng)：直接利用機(jī)械能守恒可以求得本題的結(jié)論，小球在B點(diǎn)時(shí)是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，在此時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)需要向心力．