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【題目】等差數列和等比數列中， ，，是前項和.

(1)若 ，求實數的值；

(2)是否存在正整數，使得數列的所有項都在數列中?若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；

(3)是否存在正實數，使得數列中至少有三項在數列中，但中的項不都在數列中?若存在，求出一個可能的的值，若不存在，請說明理由.

【題目】為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.

（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：

是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；

（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；

（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為，求證：.

附：

【題目】記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.

（1）求拋物線的方程；

（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

方案一：每滿100元減20元；

方案二：滿100元可抽獎一次.具體規則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽取），所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）

（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優惠的概率；

（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

【題目】在底面為菱形的四棱柱中，平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數.

（1）討論函數的單調性；

（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.

【題目】棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標，某農科所的專家在土壤環境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取20根棉花纖維進行統計，結果如下表：（記纖維長度不低于300的為“長纖維”，其余為“短纖維”）

（1）由以上統計數據，填寫下面列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環境有關系”.

附：（1）；

（2）臨界值表；

（2）現從上述40根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數為，求的分布列及數學期望.