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【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．

求橢圓和拋物線的方程；

設點P為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．

設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；

若直線AB交橢圓于C，D兩點，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．

A.2B.3C.4D.5

A. B. C. D.

A.“”是“”的充分不必要條件

B.函數的最小值為2

C.當時，命題“若，則”為真命題

D.命題“，”的否定是“，”

【題目】已知函數

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若，求證：；

【題目】已知拋物線： 的焦點為圓的圓心.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若斜率的直線過拋物線的焦點與拋物線相交于兩點，求弦長.

【答案】（1）;（2）8.

【解析】試題分析：（1）先求圓心得焦點,根據焦點得拋物線方程（2）先根據點斜式得直線方程,與拋物線聯立方程組,利用韋達定理以及弦長公式得弦長.

試題解析：（1）圓的標準方程為，圓心坐標為，

即焦點坐標為，得到拋物線的方程：

（2）直線： ，聯立，得到

弦長

【題型】解答題
【結束】
19

【題目】已知函數在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的單調區間和極值.

【題目】已知是定義在上的偶函數，當時，.

（1）用分段函數形式寫出的解析式；

（2）寫出的單調區間；

（3）求出函數的最值.

【題目】已知拋物線的焦點曲線的一個焦點， 為坐標原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準線于，直線交拋物線于點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線化為標準方程，可求得的焦點坐標分別為，可得，所以，即拋物線的方程為；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設，得，從而直線的方程為,聯立直線與拋物線方程得，解得，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）由曲線，化為標準方程可得， 所以曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點坐標分別為，因為拋物線的焦點坐標為，由題意知，所以，即拋物線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線的準線方程為，設，顯然.故，從而直線的方程為,聯立直線與拋物線方程得，解得

①當，即時，直線的方程為，

②當，即時，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點， 也在直線的方程為上，故直線的方程恒過定點.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數，

（Ⅰ）當時，求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）若時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若數列滿足， ，記的前項和為，求證： .

【題目】衡陽市八中對參加“社會實踐活動”的全體志愿者進行學分考核，因該批志愿者表現良好，學校決定考核只有合格和優秀兩個等次．若某志愿者考核為合格，授予1個學分；考核為優秀，授予2個學分，假設該校志愿者甲、乙、丙考核為優秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨立．

（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優秀的概率；

（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列及數學期望．

【題目】在中，，分別為，的中點，，如圖1.以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖2.

如圖1 如圖2

（1）證明：平面平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。