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已知f（x）=ax³+bx²+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=-2x+1
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

已知函數f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判斷并證明函數f（x）在其定義域上的奇偶性；
（2）探究函數f（x）在（0，+∞）的單調性；
（3）求函數f（x）在區間[

1

3

，4]上的最大值．

已知公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{

1

Sn

}的前n項和．

（1）證明兩角差的余弦公式C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（0，π），求cos（α-

π

4

）的值．

用記號

n

i=0

a_i表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，b_n=

n

i=0

a_2i，其中i∈N，n∈N^*．
（1）設

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ（x∈R），求b₂的值；
（2）若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差數列，求證：

n

i=0

（a_iC

i n

）=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）在條件（1）下，記d_n=1+

n

i=1

[（-1）ⁱb_iC

i n

]，計算

lim

n→∞

dn

bn

的值．

某地近年來持續干旱，為倡導節約用水，該地采用了階梯水價計費方法，具體為：每戶每月用水量不超過a噸的每噸2元；超過a噸而不超過（a+2）噸的，超出a噸的部分每噸4元；超過（a+2）噸的，超出（a+2）噸的部分每噸6元．
（1）寫出每戶每月用水量x（噸）與支付費y（元）的函數關系；
（2）該地一家庭記錄了去年12個月的月用水量（x∈N^*）如下表：

月用水量x（噸）	3	4	5	6	7
頻數	1	3	3	3	2

將12個月記錄的各用水量的頻率視為概率，若取a=4，用Y表示去年的月用水費用，求Y的分布列和數學期望（精確到元）；
（3）今年干旱形勢仍然嚴峻，該地政府決定適當下調a的值（3＜a＜4），小明家響應政府號召節約用水，已知他家前3個月的月平均水費為11元，并且前3個月用水量x的分布列為：

月用水量x（噸）	4	6	3
P	1 3	1 3	1 3

請你求出今年調整的a值．

函數f（x）=x²+2x-1．
（Ⅰ）若定義域為[-2，3]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的值域為[-2，2]，且定義域為[a，b]，求b-a的最大值．

已知α∈（0，

π

4

），β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，求tan（2α-β）的值及角2α-β．

袋中有大小相同的四個球，編號分別為1、2、3、4，從袋中每次任取一個球，記下其編號．若所取球的編號為偶數，則把該球編號改為3后放同袋中繼續取球；若所取球的編號為奇數，則停止取球．
（1）求第二次取球后才“停止取球”的概率；
（2）求停止取球時所有被記下的編號之和為5的概率．

已知函數f（x）=

1

2

ax²-lnx，a∈R⁺．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，e]的最小值為1，求a的值．