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如圖，四邊形ABCD、BCFE、CDGF都是邊長為1的正方形，M為棱AE上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）若M為AE的中點(diǎn)，求證：AE⊥面MBC；
（Ⅱ）若M不為AE的中點(diǎn)，設(shè)二面角B-MC-A的大小為α，直線BE與平面BMC所成的角為β，求|

sin(β- π 4 )

cosα

|的值．

求函數(shù)f（x）=

2x-x2

的單調(diào)區(qū)間．

橢圓C的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，離心率為

3

2

，點(diǎn)A在橢圓上，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與l的兩個(gè)公共點(diǎn)是B，D．
（1）若△FBD是邊長為2的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若A，F(xiàn)，B三點(diǎn)在同一條直線m上，且原點(diǎn)到直線m的距離為2，求橢圓方程．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)為A、B，直線l₁、l₂分別過點(diǎn)A、B且與x軸垂直，點(diǎn)（1，e）和（2，0）均在橢圓上，其中e為橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓C上不同于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，直線AP與l₂交于點(diǎn)D，直線BP與l₁于點(diǎn)E，線段OD和OE分別與橢圓交于點(diǎn)R，G．
（ⅰ）是否存在定圓與直線DE相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由；
（ⅱ）求證：

1

OG2

+

1

OR2

為定值．

已知拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的通徑長為4，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過拋物線C₂的焦點(diǎn)．
（1）求拋物線C₂和橢圓C₁的方程；
（2）過定點(diǎn)M（-1，

3

2

）引直線l交拋物線C₂于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），分別過A、B作拋物線C₂的切線l₁，l₂，且l₁與橢圓C₁相交于P，Q兩點(diǎn)．記此時(shí)兩切線l₁，l₂的交點(diǎn)為點(diǎn)C．
①求點(diǎn)C的軌跡方程；
②設(shè)點(diǎn)D（0，

1

4

），求△DPQ的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2，
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由點(diǎn)C（-2，0）向（1）中的動(dòng)點(diǎn)P所形成的曲線引割線l，交曲線于E、F，求

BE

•

BF

范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-2lnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)a=1時(shí)，若對任意x₁∈（

1

2

，

3

2

），當(dāng)任意x₂∈[2，4]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，且10sin²

B+C

2

-5sin（2014π-A）=12，

π

4

＜A＜

π

2

．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量

BA

在

BC

方向上的射影．

已知某一段公路限速60公里/小時(shí)，現(xiàn)抽取200輛通過這一段公路的汽車的時(shí)速，其頻率分布直方圖如圖所示，則這200輛汽車中在該路段沒有超速的有輛．

設(shè)集合A={x|x²＜4}，B={x|lg

3+x

1-x

＞0}．
（1）求A∩∁_RB；
（2）若不等式2x²+ax+b＜0的解集為B，求a，b的值．