Question

【題目】(2017·衢州調研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.

(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；

(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析:(1)根據菱形性質得MB⊥BC，再根據射影定義得PM⊥平面ABCD ，即得PM⊥BC ，由線面垂直判定定理得BC⊥平面PMB，最后根據面面垂直判定定理得結論，(2)先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解平面PMC法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

試題解析: (1)證明　∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，

且M是AD的中點，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.

又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中點，

∴PM⊥平面ABCD，

又∵BC平面ABCD，∴PM⊥BC，

而PM∩MB＝M，PM，MB平面PMB，

∴BC⊥平面PMB，又BC平面PBC，

∴平面MPB⊥平面PBC.

(2)解　法一　過點B作BH⊥MC，連接HN，

∵PM⊥平面ABCD，BH平面ABCD，∴BH⊥PM，

又∵PM，MC平面PMC，PM∩MC＝M，

∴BH⊥平面PMC，

∴HN為直線BN在平面PMC上的射影，

∴∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角，

在菱形ABCD中，設AB＝2a，則MB＝AB·sin 60°＝a，

MC＝＝a.

又由(1)知MB⊥BC，

∴在△MBC中，BH＝＝a，

由(1)知BC⊥平面PMB，PB平面PMB，

∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，

∴sin∠BNH＝＝＝.

法二　由(1)知MA，MB，MP兩兩互相垂直，以M為坐標原點，以MA，MB，MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系M－xyz，不妨設MA＝1，

則M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，C(－2，，0)，

∵N是PC的中點，∴N，

設平面PMC的法向量為n＝(x0，y0，z0)，

又∵＝(0，0，)，＝(－2，，0)，

∴即

令y0＝1，則n＝，|n|＝，

又∵＝，||＝，

|cos〈，n〉|＝＝.

所以，直線BN與平面PMC所成角的正弦值為.