Question

已知常數a、b滿足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x）．
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）證明y=f（x）在定義域內是增函數；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）內取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數和指數函數的定義域及單調性即可得出；
（2）?x₂＞x₁＞0，利用指數函數和對數函數的單調性即可證明f（x₂）-f（x₁）＞0；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函數，且f（x）恰在（1，+∞）內取正值，可得f（1）=0，又f（2）=lg2，聯立即可解出．

解答：解：（1）要使函數f（x）=lg（a^x-b^x）有意義，則需要a^x-b^x＞0，（*）
∵常數a、b滿足a＞1＞b＞0，∴

a

b

＞1，∴（*）化為(

a

b

)x＞1，∴x＞0．
∴y=f（x）的定義域為（0，+∞）．
（2）?x₂＞x₁＞0，則f（x₂）-f（x₁）=lg(ax2-bx2)-lg(ax1-bx1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

．
∵x₂＞x₁＞0，a＞1＞b＞0，∴ax2-ax1＞0，bx1-bx2＞0．
∴ax2-bx2-(ax1-bx1)=(ax2-ax1)+bx1-bx2＞0，
又ax1＞bx1，
∴

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1，
∴lg

ax2-bx2

ax1-bx1

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．
∴y=f（x）在定義域內是增函數；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函數，且f（x）恰在（1，+∞）內取正值，
∴f（1）=0，即lg（a-b）=0，化為a-b=1．
∵f（2）=lg2，∴lg（a²-b²）=lg2，化為a²-b²=2，
聯立

a-b=1 a2-b2=2

，解得

a=1.5 b=0.5

．
∴a=1.5，b=0.5．

點評：本題考查了指數函數和對數函數的單調性及其運算性質，屬于難題．