Question

已知平面內三點A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為坐標原點．
（1）若

AC

•

BC

=-1，求sin(α+

π

4

)的值．
（4）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈(0，π)，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由已知中A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），我們易求出向量

AC

，

BC

的坐標，根據

AC

•

BC

=-1，利用同角三角函數關系式及輔助角公式，易求出sin(α+

π

4

)的值．
（2）由|

OA

+

OC

|=

13

，代入向量模的計算公式，可以求出cosα，sinα，進而求出C點坐標，代入向量夾角公式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)
∴

AC

•

BC

=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1…（3分）
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1
∴cosα+sinα=

2

3

，…（5分）
∴sin(α+

π

4

)=

2

3

…（7分）
（2）∵|

OA

+

OC

|=

13

．∴（3+cosα）²+sin²α=13，
∴cosα=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

，sinα=

3

2

，…（9分）
∴C(

1

2

，

3

2

)，∴

OB

•

OC

=

3 3

2

…（11分）
設

OB

與

OC

的夾角為θ，則cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3 3 2

3

=

3

2

∵θ∈(0，π)∴θ=

π

6

即為所求．…（14分）

點評：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數，數量積表示兩個向量的夾角，其中（1）的關鍵是根據向量數量積公式，得到關于α 的三角方程，（2）的關鍵是求出cosα，sinα．