Question

【題目】一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分，它的方程是x2=2y，y∈[0，10]，在杯內放入一個清潔球，要求清潔球能擦凈酒杯的最底部（如圖），則清潔球的最大半徑為

Answer 1

【答案】1
【解析】設小球圓心（0，y0）
拋物線上點（x，y）
點到圓心距離平方為：
r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02
若r2最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底
故此二次函數的對稱軸位置應在y軸的左側，所以1﹣y0≥0y0≤1，
所以0＜r≤1，從而清潔球的半徑r的范圍為 0＜r≤1
則清潔球的最大半徑為 1
故答案為：1．
設小球圓心（0，y0） 拋物線上點（x，y），求得點到球心距離r平方的表達式，進而根據若r2最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底，需1﹣y0≥0 進而求得r的范圍．