Question

冰島南部一冰川火山口當地時間2010年3月20日發生大規模爆發性噴火，周邊飛揚了大量火山灰．火山噴發停止后，為測量的需要，距離噴口中心50m內的圓環面為第1區、50m至100m的圓環面為第2區、100m至150m的圓環面為第3區、…、第50（n-1）m至50nm的圓環面為第n區，…．現測得第1區火山灰平均每平方米為1t、第2區每平方米火山灰的平均重量較第1區減少2%、第3區較第2區又減少2%，…，以此類推．
（1）若第n區每平方米火山灰的重量為a_nkg，請寫出a_n的表達式；
（2）第幾區內的火山灰總重量最大？
（3）該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量為多少萬噸？

Answer 1

分析：（1）由題意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）設第n區內的面積為b_nm²，第n區火山灰總重量最大，則

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得第50區火山灰的總重量最大．
（3）設該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量為S_n萬噸．S n=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2++

(2n-1)π

4

qn-1.qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3++

(2n-1)π

4

qn再由錯位相減可知該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量．

解答：解：（1）a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）設第n區內的面積為b_nm²，
則b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）．
則第n區內火山灰的總重量為C_n=a_nb_n=2500π（2n-1）（1-2%）^（n-1）（t）
=

π

4

(2n-1)(0.98)n-1（萬噸）．
設第n區火山灰總重量最大，
則

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得49

1

2

≤n≤50

1

2

，∴n=50．
即得第50區火山灰的總重量最大．
（3）設該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量為S_n萬噸．
S_n=C₁+C₂++C_n，q=1-0.02，
則S n=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2++

(2n-1)π

4

qn-1.①
∴qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3++

(2n-1)π

4

qn．②
①-②得(1-q)Sn=

π

4

+

π

2

(q+q2++qn-1)-

(2n-1)π

4

qn．
∴Sn=

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn．
該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量為

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn萬噸．

點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題．仔細計算．