Question

【題目】已知函數.

(1)當時，求函數的極值；

(2)若恒成立，求的取值范圍；

(3)設函數的極值點為，當變化時，點(，)構成曲線M.證明:任意過原點的直線，與曲線M均僅有一個公共點.

Answer 1

【答案】(1) 的極大值為，無極小值；(2) ；(3) 證明見解析.

【解析】

（1）對函數求導，求出單調區間，即可求出極值；

（2）恒成立，兩種解法：①分離參數，構造新函數，轉化為與新函數的最值關系；②轉化為，對分類討論求出，轉化為解關于的不等式；

（3）先確定出點(，)構成曲線M，直線與曲線M均僅有一個公共點轉化為函數的零點，對分類討論，求出函數的單調區間，結合零點存在性定理，即可得證.

(1)當時，，

則

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以當時，的極大值為，無極小值；

(2)(法一)∵，

∴由恒成立，得恒成立，

令則，

令，則，

∵，故

∴在在(0，+∞)單增，又，

∴，，，

即，，，，

∴，單減，)，單增，

∴時，取極小值即最小值，

∴；

法二：

由二次函數性質可知，存在，使得，

即，且當時，，

當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，

由題意可知，，

設，則，即單調遞增.

∴的解集為(0，1]，即，

∴；

(3)由(2)可知，

則曲線M的方程為，

由題意可知.對任意，

證明：方程均有唯一解，

設，

則

①當時，恒成立，

所以在上單調遞增，

∵，

所以存在滿足時，使得，

又因為單調遞增.所以為唯一解；

②當且，即時，

恒成立，所以在上單調遞增，

∵，，

∴存在使得，

又∵單調遞增，所以為唯一解；

③當時，有兩解，不妨設，

因為，所以，列表如下:

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

由表可知，當時，

的極大值為，

∵，所以.

∴，

∴存在，使得，

又因為單調遞增，所以為唯一解:

綜上，原命題得證.