Question

一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  12

• C．

  1

  24

• D．

  1

  32

Answer 1

分析：設(shè)這個籃球運動員得1分的概率為c，由題設(shè)知

a+b+c+0.5=1 3a+2b+c=1

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．

解答：解：設(shè)這個籃球運動員得1分的概率為c，
∵這個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5，
投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，
∴

a+b+c+0.5=1 3a+2b+c=1

，
解得2a+b=0.5，
∵a、b∈（0，1），
∴2ab≤(

2a+b

2

)2=(

0.5

2

)2=

1

16

，
∴ab≤

1

32

，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=

1

4

時，ab取最大值

1

32

．
故選D．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運用．