Question

已知二次函數及函數，函數在處取得極值．

（Ⅰ）求所滿足的關系式；

（Ⅱ）是否存在實數，使得對（Ⅰ）中任意的實數，直線與函數在上的圖像恒有公共點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由已知得，，

依題意得：，即，                             ……………4分

代入得

要使在處有極值，則須，即，          

所以所求滿足的關系式為．          ……………5分

（Ⅱ）由題意得方程在時總有解，所以

在時總有解，        ……………6分

設，則，              ……………7分

①當且，時，，在時單調遞減，，，； …8分

②當時，令得：，時，，單調遞減，時，，單調遞增，

，，

若，則，，

若，則，；                ………9分

③當時，，在時單調遞增，

，，；   ……………10分

設集合，，

，，

所以要使直線與函數在上的圖像恒有公共點，則實數的取值范圍為：，所以存在實數滿足題意，其取值范圍為．

【解析】略