Question

棱長都為2的直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，則對角線A₁C與側面DCC₁D₁所成角的余弦值為

13

4

．

Answer 1

分析：作A₁E⊥C₁D₁，垂足為E，則可得對角線A₁C與側面DCC₁D₁所成角，從而可求對角線A₁C與側面DCC₁D₁所成角的余弦值．

解答：解：作A₁E⊥C₁D₁，垂足為E，連CE，A₁E，A₁C．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直平行六面體
∴A₁E⊥平面DCC₁D₁，
∴∠A₁CE就是對角線A₁C與側面DCC₁D₁所成角
∵CE?平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁E⊥CE
∵棱長都為2的直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，
∴A1E=2sin60°=

3

，D₁E=1
∴A1C1=2

3

∴A₁C=4
∴CE=

13

在Rt△A₁EC中，cos∠A₁CE=

CE

A1C

=

13

4

故答案為：

13

4

點評：本題重點考查線面角，解題的關鍵是利用線面垂直，作出線面角，屬于中檔題．